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Populaire Trigonométrie >

sin(θ)=1-2cos(θ)

Solution

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

Solution

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - 0.64350 \dots + 2 πn

Degrés

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 323.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

Mettre les deux côtés au carré

sin^{2} (θ) = (1 - 2 cos (θ))^{2}

Soustraire

(1 - 2 cos (θ))^{2}

des deux côtés

sin^{2} (θ) - 1 + 4 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 1 + sin^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ)

Utiliser l'identité hyperbolique:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= 4 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) - cos^{2} (θ)

Simplifier

= 4 cos (θ) - 5 cos^{2} (θ)

4 cos (θ) - 5 cos^{2} (θ) = 0

Résoudre par substitution

4 cos (θ) - 5 cos^{2} (θ) = 0

Soit :

cos (θ) = u

4 u - 5 u^{2} = 0

4 u - 5 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{4}{5}

4 u - 5 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} + 4 u = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 5 u^{2} + 4 u = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 5, b = 4, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 0}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 0}{2 ( - 5 )}

4^{2} - 4 (- 5) \cdot 0 = 4

4^{2} - 4 (- 5) \cdot 0

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 0

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 4^{2} + 0

4^{2} + 0 = 4^{2}

= 4^{2}

Appliquer la règle des radicaux :

en supposant

a \geq 0

= 4

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4}{2 ( - 5 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 4 + 4}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- 4 - 4}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- 4 + 4}{2 ( - 5 )} : 0

\frac{- 4 + 4}{2 ( - 5 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 4 + 4}{- 2 \cdot 5}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 4 + 4 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 5 = 10

= \frac{0}{- 10}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{10}

Appliquer la règle

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 4 - 4}{2 ( - 5 )} : \frac{4}{5}

\frac{- 4 - 4}{2 ( - 5 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 4 - 4}{- 2 \cdot 5}

Soustraire les nombres :

- 4 - 4 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 8}{- 10}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{10}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{4}{5}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = 0, u = \frac{4}{5}

Remplacer

u = cos (θ)

cos (θ) = 0, cos (θ) = \frac{4}{5}

cos (θ) = 0, cos (θ) = \frac{4}{5}

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Solutions générales pour

cos (θ) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = \frac{4}{5} : θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{4}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (θ) = \frac{4}{5}

Solutions générales pour

cos (θ) = \frac{4}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

\frac{π}{2} + 2 πn :

vrai

\frac{π}{2} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Pour

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

insérer

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 1 - 2 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Redéfinir

1 = 1

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Faux

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Pour

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

insérer

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 1 - 2 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Redéfinir

- 1 = 1

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Faux

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Pour

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

insérer

θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

sin (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1 - 2 cos (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

Redéfinir

0.6 = - 0.6

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

vrai

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Pour

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

insérer

θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

sin (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1 - 2 cos (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

Redéfinir

- 0.6 = - 0.6

\Rightarrow vrai

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - 0.64350 \dots + 2 πn

Graphe

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