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Beliebt Trigonometrie >

4cos^2(x)-2cos(x)-3=0

Lösung

4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 3 = 0

Lösung

x = 2.28020 \dots + 2 πn, x = - 2.28020 \dots + 2 πn

Grad

x = 130.64631 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 130.64631 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 3 = 0

Löse mit Substitution

4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 3 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

4 u^{2} - 2 u - 3 = 0

4 u^{2} - 2 u - 3 = 0 : u = \frac{1 + 13}{4}, u = \frac{1 - 13}{4}

4 u^{2} - 2 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 2 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 2, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 3 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 3 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 3) = 213

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

= 2^{2} + 48

2^{2} = 4

= 4 + 48

Addiere die Zahlen:

4 + 48 = 52

= 52

Primfaktorzerlegung von

52 : 2^{2} \cdot 13

52

52

ist durch

252 = 26 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 26

26

ist durch

226 = 13 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 13 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 213

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 13}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 13}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 13}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 13}{2 \cdot 4} : \frac{1 + 13}{4}

\frac{- ( - 2 ) + 2 13}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 13}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 + 2 13}{8}

Faktorisiere

2 + 213 : 2 (1 + 13)

2 + 213

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 213

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 13)

= \frac{2 ( 1 + 13 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 13}{4}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 13}{2 \cdot 4} : \frac{1 - 13}{4}

\frac{- ( - 2 ) - 2 13}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 13}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 - 2 13}{8}

Faktorisiere

2 - 213 : 2 (1 - 13)

2 - 213

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 213

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 13)

= \frac{2 ( 1 - 13 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 - 13}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 13}{4}, u = \frac{1 - 13}{4}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1 + 13}{4}, cos (x) = \frac{1 - 13}{4}

cos (x) = \frac{1 + 13}{4}, cos (x) = \frac{1 - 13}{4}

cos (x) = \frac{1 + 13}{4} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{1 + 13}{4}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{1 - 13}{4} : x = arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 13}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 - 13}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 - 13}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.28020 \dots + 2 πn, x = - 2.28020 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3cos(x)= 6/pi

3 cos (x) = \frac{6}{π}

6cos(2θ)=18cos(θ)-12

6 cos (2 θ) = 18 cos (θ) - 12

cos(2/3 x-pi/2)=1

cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2}) = 1

tan^2(x)sin(x)=sin(x),0<= x<= 2pi

tan^{2} (x) sin (x) = sin (x), 0 \leq x \leq 2 π

-3sin(t)=0

- 3 sin (t) = 0