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Beliebt Trigonometrie >

cos(5x)-cos(x)=2sin(2x)

Lösung

cos (5 x) - cos (x) = 2 sin (2 x)

Lösung

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

Grad

x = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (5 x) - cos (x) = 2 sin (2 x)

Subtrahiere

2 sin (2 x)

von beiden Seiten

cos (5 x) - cos (x) - 2 sin (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (5 x) - cos (x) - 2 sin (2 x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 2 sin (2 x) - 2 sin (\frac{5 x + x}{2}) sin (\frac{5 x - x}{2})

2 sin (\frac{5 x + x}{2}) sin (\frac{5 x - x}{2}) = 2 sin (3 x) sin (2 x)

2 sin (\frac{5 x + x}{2}) sin (\frac{5 x - x}{2})

\frac{5 x + x}{2} = 3 x

\frac{5 x + x}{2}

Addiere gleiche Elemente:

5 x + x = 6 x

= \frac{6 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{6}{2} = 3

= 3 x

= 2 sin (3 x) sin (\frac{5 x - x}{2})

\frac{5 x - x}{2} = 2 x

\frac{5 x - x}{2}

Addiere gleiche Elemente:

5 x - x = 4 x

= \frac{4 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2 x

= 2 sin (3 x) sin (2 x)

= - 2 sin (2 x) - 2 sin (3 x) sin (2 x)

- 2 sin (2 x) - 2 sin (2 x) sin (3 x) = 0

Faktorisiere

- 2 sin (2 x) - 2 sin (2 x) sin (3 x) : - 2 sin (2 x) (sin (3 x) + 1)

- 2 sin (2 x) - 2 sin (2 x) sin (3 x)

Klammere gleiche Terme aus

- 2 sin (2 x)

= - 2 sin (2 x) (1 + sin (3 x))

- 2 sin (2 x) (sin (3 x) + 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (2 x) = 0 or sin (3 x) + 1 = 0

sin (2 x) = 0 : x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

sin (2 x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 x = 0 + 2 πn, 2 x = π + 2 πn

2 x = 0 + 2 πn, 2 x = π + 2 πn

Löse

2 x = 0 + 2 πn : x = πn

2 x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

2 x = 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = πn

x = πn

Löse

2 x = π + 2 πn : x = \frac{π}{2} + πn

2 x = π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{π}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + πn

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

sin (3 x) + 1 = 0 : x = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

sin (3 x) + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

sin (3 x) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

sin (3 x) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

sin (3 x) = - 1

sin (3 x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (3 x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

3 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

3 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Löse

3 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

3 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Teile die Zahlen:

\frac{3}{3} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{3 π}{2}}{3} = \frac{π}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{3 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

x = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

x = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

x = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

x = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

Kombiniere alle Lösungen

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

Graph

Beliebte Beispiele

6arccos(4x)=5pi

6 arccos (4 x) = 5 π

cos(θ)=-pi/2

cos (θ) = - \frac{π}{2}

tan(θ)=-sqrt(15)

tan (θ) = - 15

sin(x)= 6/13

sin (x) = \frac{6}{13}

cos(x)=-8/17

cos (x) = - \frac{8}{17}