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Popolare Trigonometria >

tan^2(x)-(sqrt(3)+1)tan(x)+sqrt(3)=0

Soluzione

tan^{2} (x) - (3 + 1) tan (x) + 3 = 0

Soluzione

x = \frac{π}{3} + πn, x = \frac{π}{4} + πn

Gradi

x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

tan^{2} (x) - (3 + 1) tan (x) + 3 = 0

Risolvi per sostituzione

tan^{2} (x) - (3 + 1) tan (x) + 3 = 0

Sia:

tan (x) = u

u^{2} - (3 + 1) u + 3 = 0

u^{2} - (3 + 1) u + 3 = 0 : u = 3, u = 1

u^{2} - (3 + 1) u + 3 = 0

Risolvi con la formula quadratica

u^{2} - (3 + 1) u + 3 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = - 3 - 1, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 - 1 ) \pm ( - 3 - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 - 1 ) \pm ( - 3 - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}{2 \cdot 1}

(- 3 - 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 3 - 1

(- 3 - 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 = 4

= (- 1 - 3)^{2} - 43

Espandi

(- 3 - 1)^{2} - 43 : 4 - 23

(- 3 - 1)^{2} - 43

(- 3 - 1)^{2} : 4 + 23

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = - 3, b = 1

= (- 3)^{2} - 2 (- 3) \cdot 1 + 1^{2}

Semplifica

(- 3)^{2} - 2 (- 3) \cdot 1 + 1^{2} : 4 + 23

(- 3)^{2} - 2 (- 3) \cdot 1 + 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (- 3)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (- 3) + 1

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 23 \cdot 1 + 1

(- 3)^{2} = 3

(- 3)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 3)^{2} = (3)^{2}

= (3)^{2}

Applicare la regola della radice:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= 3

23 \cdot 1 = 23

23 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 23

= 3 + 23 + 1

Aggiungi i numeri:

3 + 1 = 4

= 4 + 23

= 4 + 23

= 4 + 23 - 43

Aggiungi elementi simili:

23 - 43 = - 23

= 4 - 23

= 4 - 23

= 3 - 23 + 1

= (3)^{2} - 23 + (1)^{2}

1 = 1

1

Applicare la regola

1 = 1

= 1

= (3)^{2} - 23 + 1^{2}

23 \cdot 1 = 23

23 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 23

= (3)^{2} - 23 \cdot 1 + 1^{2}

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(3)^{2} - 23 \cdot 1 + 1^{2} = (3 - 1)^{2}

= (3 - 1)^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

(3 - 1)^{2} = 3 - 1

= 3 - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 - 1 ) \pm ( 3 - 1 )}{2 \cdot 1}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 3 - 1 ) + 3 - 1}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 3 - 1 ) - ( 3 - 1 )}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 3 - 1 ) + 3 - 1}{2 \cdot 1} : 3

\frac{- ( - 3 - 1 ) + 3 - 1}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- ( - 1 - 3 ) + 3 - 1}{2}

Espandi

- (- 3 - 1) + 3 - 1 : 23

- (- 3 - 1) + 3 - 1

- (- 3 - 1) : 3 + 1

- (- 3 - 1)

Distribuire le parentesi

= - (- 3) - (- 1)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= 3 + 1

= 3 + 1 + 3 - 1

Semplifica

3 + 1 + 3 - 1 : 23

3 + 1 + 3 - 1

Aggiungi elementi simili:

3 + 3 = 23

= 23 + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 23

= 23

= \frac{2 3}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= 3

u = \frac{- ( - 3 - 1 ) - ( 3 - 1 )}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- ( - 3 - 1 ) - ( 3 - 1 )}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- ( - 1 - 3 ) - ( 3 - 1 )}{2}

Espandi

- (- 3 - 1) - (3 - 1) : 2

- (- 3 - 1) - (3 - 1)

- (- 3 - 1) : 3 + 1

- (- 3 - 1)

Distribuire le parentesi

= - (- 3) - (- 1)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= 3 + 1

= 3 + 1 - (3 - 1)

- (3 - 1) : - 3 + 1

- (3 - 1)

Distribuire le parentesi

= - (3) - (- 1)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 3 + 1

= 3 + 1 - 3 + 1

Semplifica

3 + 1 - 3 + 1 : 2

3 + 1 - 3 + 1

Aggiungi elementi simili:

3 - 3 = 0

= 1 + 1

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2

= 2

= \frac{2}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 3, u = 1

Sostituire indietro

u = tan (x)

tan (x) = 3, tan (x) = 1

tan (x) = 3, tan (x) = 1

tan (x) = 3 : x = \frac{π}{3} + πn

tan (x) = 3

Soluzioni generali per

tan (x) = 3

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{3} + πn

x = \frac{π}{3} + πn

tan (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

tan (x) = 1

Soluzioni generali per

tan (x) = 1

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{3} + πn, x = \frac{π}{4} + πn

Grafico

Esempi popolari

6cos(θ)=3

6 cos (θ) = 3

4cos^3(x)=cos(x)

4 cos^{3} (x) = cos (x)

csc^5(θ)-4csc(θ)=0

csc^{5} (θ) - 4 csc (θ) = 0

16sin^2(x)-4=0

16 sin^{2} (x) - 4 = 0

3-3sin(θ)=3

3 - 3 sin (θ) = 3