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Beliebt Trigonometrie >

3cos(2θ)+13cos(θ)+5=6cos(θ)

Lösung

3 cos (2 θ) + 13 cos (θ) + 5 = 6 cos (θ)

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2.30052 \dots + 2 πn, θ = - 2.30052 \dots + 2 πn

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 131.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 131.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (2 θ) + 13 cos (θ) + 5 = 6 cos (θ)

Subtrahiere

6 cos (θ)

von beiden Seiten

3 cos (2 θ) + 7 cos (θ) + 5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 + 3 cos (2 θ) + 7 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 5 + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 7 cos (θ)

Vereinfache

5 + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 7 cos (θ) : 6 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) + 2

5 + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 7 cos (θ)

Multipliziere aus

3 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 6 cos^{2} (θ) - 3

3 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Vereinfache

3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1 : 6 cos^{2} (θ) - 3

3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= 6 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 6 cos^{2} (θ) - 3

= 6 cos^{2} (θ) - 3

= 5 + 6 cos^{2} (θ) - 3 + 7 cos (θ)

Vereinfache

5 + 6 cos^{2} (θ) - 3 + 7 cos (θ) : 6 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) + 2

5 + 6 cos^{2} (θ) - 3 + 7 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 6 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) + 5 - 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

5 - 3 = 2

= 6 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) + 2

= 6 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) + 2

= 6 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) + 2

2 + 6 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 + 6 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

2 + 6 u^{2} + 7 u = 0

2 + 6 u^{2} + 7 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = - \frac{2}{3}

2 + 6 u^{2} + 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} + 7 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

6 u^{2} + 7 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 6, b = 7, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2}{2 \cdot 6}

7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 1

7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

= 7^{2} - 48

7^{2} = 49

= 49 - 48

Subtrahiere die Zahlen:

49 - 48 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 1}{2 \cdot 6}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 7 + 1}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- 7 - 1}{2 \cdot 6}

u = \frac{- 7 + 1}{2 \cdot 6} : - \frac{1}{2}

\frac{- 7 + 1}{2 \cdot 6}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 7 + 1 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 6}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 7 - 1}{2 \cdot 6} : - \frac{2}{3}

\frac{- 7 - 1}{2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

- 7 - 1 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 8}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{2}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = - \frac{2}{3}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = - \frac{2}{3}

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = - \frac{2}{3}

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2}{3} : θ = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{2}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{2}{3}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2.30052 \dots + 2 πn, θ = - 2.30052 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)=-3/5

tan (θ) = - \frac{3}{5}

cos(x+pi/3)+cos(x-pi/3)=1

cos (x + \frac{π}{3}) + cos (x - \frac{π}{3}) = 1

5tan^2(x)+3tan(x)=0

5 tan^{2} (x) + 3 tan (x) = 0

sin(2x)+4=3sin(2x)-5

sin (2 x) + 4 = 3 sin (2 x) - 5

3cos^2(x)-1=0

3 cos^{2} (x) - 1 = 0