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Beliebt Trigonometrie >

tan(2θ)-tan(θ)=0,0<θ<2pi

Lösung

tan (2 θ) - tan (θ) = 0, 0 < θ < 2 π

Lösung

θ = π

Grad

θ = 18 0^{\circ}

Schritte zur Lösung

tan (2 θ) - tan (θ) = 0, 0 < θ < 2 π

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (2 θ) - tan (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - tan (θ)

Vereinfache

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - tan (θ) : \frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - tan (θ)

Wandle das Element in einen Bruch um:

tan (θ) = \frac{tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - \frac{tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 tan ( θ ) - tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Multipliziere aus

2 tan (θ) - tan (θ) (1 - tan^{2} (θ)) : tan (θ) + tan^{3} (θ)

2 tan (θ) - tan (θ) (1 - tan^{2} (θ))

Multipliziere aus

- tan (θ) (1 - tan^{2} (θ)) : - tan (θ) + tan^{3} (θ)

- tan (θ) (1 - tan^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - tan (θ), b = 1, c = tan^{2} (θ)

= - tan (θ) \cdot 1 - (- tan (θ)) tan^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 1 \cdot tan (θ) + tan^{2} (θ) tan (θ)

Vereinfache

- 1 \cdot tan (θ) + tan^{2} (θ) tan (θ) : - tan (θ) + tan^{3} (θ)

- 1 \cdot tan (θ) + tan^{2} (θ) tan (θ)

1 \cdot tan (θ) = tan (θ)

1 \cdot tan (θ)

Multipliziere:

1 \cdot tan (θ) = tan (θ)

= tan (θ)

tan^{2} (θ) tan (θ) = tan^{3} (θ)

tan^{2} (θ) tan (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan^{2} (θ) tan (θ) = tan^{2 + 1} (θ)

= tan^{2 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= tan^{3} (θ)

= - tan (θ) + tan^{3} (θ)

= - tan (θ) + tan^{3} (θ)

= 2 tan (θ) - tan (θ) + tan^{3} (θ)

Addiere gleiche Elemente:

2 tan (θ) - tan (θ) = tan (θ)

= tan (θ) + tan^{3} (θ)

= \frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= \frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Löse mit Substitution

\frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Angenommen:

tan (θ) = u

\frac{u + u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{u + u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = 0, u = i, u = - i

\frac{u + u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

u + u^{3} = 0

Löse

u + u^{3} = 0 : u = 0, u = i, u = - i

u + u^{3} = 0

Faktorisiere

u + u^{3} : u (u^{2} + 1)

u + u^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= u^{2} u + u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u^{2} + 1)

u (u^{2} + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or u^{2} + 1 = 0

Löse

u^{2} + 1 = 0 : u = i, u = - i

u^{2} + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u^{2} + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Vereinfache

- 1 : i

- 1

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= i

Vereinfache

- - 1 : - i

- - 1

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

Die Lösungen sind

u = 0, u = i, u = - i

u = 0, u = i, u = - i

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 1, u = - 1

Nimm den/die Nenner von

\frac{u + u ^{3}}{1 - u ^{2}}

und vergleiche mit Null

Löse

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - u^{2} = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 1, u = - 1

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 0, u = i, u = - i

Setze in

u = tan (θ)

ein

tan (θ) = 0, tan (θ) = i, tan (θ) = - i

tan (θ) = 0, tan (θ) = i, tan (θ) = - i

tan (θ) = 0, 0 < θ < 2 π : θ = π

tan (θ) = 0, 0 < θ < 2 π

Allgemeine Lösung für

tan (θ) = 0

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = 0 + πn

θ = 0 + πn

Löse

θ = 0 + πn : θ = πn

θ = 0 + πn

0 + πn = πn

θ = πn

θ = πn

Lösungen für den Bereich

0 < θ < 2 π

θ = π

tan (θ) = i, 0 < θ < 2 π :

Keine Lösung

tan (θ) = i, 0 < θ < 2 π

Lösungen für den Bereich

0 < θ < 2 π

Keine L \overset{o}{¨} sung

tan (θ) = - i, 0 < θ < 2 π :

Keine Lösung

tan (θ) = - i, 0 < θ < 2 π

Lösungen für den Bereich

0 < θ < 2 π

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = π

Graph

Beliebte Beispiele

-8cos(x)=-6sec(x)+8

- 8 cos (x) = - 6 sec (x) + 8

cos(2θ)+sin(θ)=1

cos (2 θ) + sin (θ) = 1

4cos(x)-1=0

4 cos (x) - 1 = 0

2sin(x)-sqrt(3)=0,0<= x<= 2pi

2 sin (x) - 3 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

8cos(x)+4sin(2x)=0

8 cos (x) + 4 sin (2 x) = 0