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Beliebt Trigonometrie >

4cosh(x)-sinh(x)=8

Lösung

4 cosh (x) - sinh (x) = 8

Lösung

x = ln (5), x = - ln (3)

Grad

x = 92.21399 \dots^{\circ}, x = - 62.94584 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

4 cosh (x) - sinh (x) = 8

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

4 cosh (x) - sinh (x) = 8

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

4 cosh (x) - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 8

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 8

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 8

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 8 : x = ln (5), x = - ln (3)

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 8

Multipliziere beide Seiten mit

2

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2 - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 8 \cdot 2

Vereinfache

4 (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) = 16

Wende Exponentenregel an

4 (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) = 16

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

4 (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) - (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) = 16

4 (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) - (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) = 16

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

4 (u + (u)^{- 1}) - (u - (u)^{- 1}) = 16

Löse

4 (u + u^{- 1}) - (u - u^{- 1}) = 16 : u = 5, u = \frac{1}{3}

4 (u + u^{- 1}) - (u - u^{- 1}) = 16

Fasse zusammen

4 (u + \frac{1}{u}) - (u - \frac{1}{u}) = 16

Vereinfache

- (u - \frac{1}{u}) : - u + \frac{1}{u}

- (u - \frac{1}{u})

Setze Klammern

= - (u) - (- \frac{1}{u})

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - u + \frac{1}{u}

4 (u + \frac{1}{u}) - u + \frac{1}{u} = 16

Multipliziere beide Seiten mit

u

4 (u + \frac{1}{u}) - u + \frac{1}{u} = 16

Multipliziere beide Seiten mit

u

4 (u + \frac{1}{u}) u - uu + \frac{1}{u} u = 16 u

Vereinfache

4 (u + \frac{1}{u}) u - uu + \frac{1}{u} u = 16 u

Vereinfache

- uu : - u^{2}

- uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Vereinfache

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1

4 (u + \frac{1}{u}) u - u^{2} + 1 = 16 u

4 (u + \frac{1}{u}) u - u^{2} + 1 = 16 u

4 (u + \frac{1}{u}) u - u^{2} + 1 = 16 u

Schreibe

4 (u + \frac{1}{u}) u - u^{2} + 1

um:

3 u^{2} + 5

4 (u + \frac{1}{u}) u - u^{2} + 1

= 4 u (u + \frac{1}{u}) - u^{2} + 1

Multipliziere aus

4 u (u + \frac{1}{u}) : 4 u^{2} + 4

4 u (u + \frac{1}{u})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 4 u, b = u, c = \frac{1}{u}

= 4 uu + 4 u \frac{1}{u}

= 4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u

Vereinfache

4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u : 4 u^{2} + 4

4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u

4 uu = 4 u^{2}

4 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 4 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 4 u^{2}

4 \cdot \frac{1}{u} u = 4

4 \cdot \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= 4

= 4 u^{2} + 4

= 4 u^{2} + 4

= 4 u^{2} + 4 - u^{2} + 1

Vereinfache

4 u^{2} + 4 - u^{2} + 1 : 3 u^{2} + 5

4 u^{2} + 4 - u^{2} + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 4 u^{2} - u^{2} + 4 + 1

Addiere gleiche Elemente:

4 u^{2} - u^{2} = 3 u^{2}

= 3 u^{2} + 4 + 1

Addiere die Zahlen:

4 + 1 = 5

= 3 u^{2} + 5

= 3 u^{2} + 5

3 u^{2} + 5 = 16 u

Löse

3 u^{2} + 5 = 16 u : u = 5, u = \frac{1}{3}

3 u^{2} + 5 = 16 u

Verschiebe

16 u

auf die linke Seite

3 u^{2} + 5 = 16 u

Subtrahiere

16 u

von beiden Seiten

3 u^{2} + 5 - 16 u = 16 u - 16 u

Vereinfache

3 u^{2} + 5 - 16 u = 0

3 u^{2} + 5 - 16 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 16 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} - 16 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = - 16, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 3}

(- 16)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 14

(- 16)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 16)^{2} = 1 6^{2}

= 1 6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 5 = 60

= 1 6^{2} - 60

1 6^{2} = 256

= 256 - 60

Subtrahiere die Zahlen:

256 - 60 = 196

= 196

Faktorisiere die Zahl:

196 = 1 4^{2}

= 1 4^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 4^{2} = 14

= 14

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm 14}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 16 ) + 14}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 16 ) - 14}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 16 ) + 14}{2 \cdot 3} : 5

\frac{- ( - 16 ) + 14}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{16 + 14}{2 \cdot 3}

Addiere die Zahlen:

16 + 14 = 30

= \frac{30}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{30}{6}

Teile die Zahlen:

\frac{30}{6} = 5

= 5

u = \frac{- ( - 16 ) - 14}{2 \cdot 3} : \frac{1}{3}

\frac{- ( - 16 ) - 14}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{16 - 14}{2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 14 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 5, u = \frac{1}{3}

u = 5, u = \frac{1}{3}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

4 (u + u^{- 1}) - (u - u^{- 1})

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 5, u = \frac{1}{3}

u = 5, u = \frac{1}{3}

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 5 : x = ln (5)

e^{x} = 5

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 5

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (5)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (5)

x = ln (5)

Löse

e^{x} = \frac{1}{3} : x = - ln (3)

e^{x} = \frac{1}{3}

Wende Exponentenregel an

e^{x} = \frac{1}{3}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{1}{3})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{1}{3})

Vereinfache

ln (\frac{1}{3}) : - ln (3)

ln (\frac{1}{3})

Wende die log Regel an:

lo g_{a} (\frac{1}{x}) = - lo g_{a} (x)

= - ln (3)

x = - ln (3)

x = - ln (3)

x = ln (5), x = - ln (3)

x = ln (5), x = - ln (3)

Graph

Beliebte Beispiele

2sin^2(x)+4sin(x)+2=0

2 sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 2 = 0

2sin(θ)=csc(θ)

2 sin (θ) = csc (θ)

cos(θ)=-0.7

cos (θ) = - 0.7

2cos^2(x)+7cos(x)+5=0

2 cos^{2} (x) + 7 cos (x) + 5 = 0

2sin(x)=-1,0<= x<2pi

2 sin (x) = - 1, 0 \leq x < 2 π