English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Populaire Trigonométrie >

sin^2(x)-csc^2(x)=tan^2(x)-cot^2(x)

Solution

sin^{2} (x) - csc^{2} (x) = tan^{2} (x) - cot^{2} (x)

Solution

Aucune solution pour x \in R

étapes des solutions

sin^{2} (x) - csc^{2} (x) = tan^{2} (x) - cot^{2} (x)

Soustraire

tan^{2} (x) - cot^{2} (x)

des deux côtés

sin^{2} (x) - csc^{2} (x) - tan^{2} (x) + cot^{2} (x) = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

cot^{2} (x) - csc^{2} (x) + sin^{2} (x) - tan^{2} (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - csc^{2} (x) + sin^{2} (x) - tan^{2} (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - (\frac{1}{sin ( x )})^{2} + sin^{2} (x) - tan^{2} (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - (\frac{1}{sin ( x )})^{2} + sin^{2} (x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Simplifier

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - (\frac{1}{sin ( x )})^{2} + sin^{2} (x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( x ) ( cos ^{2} ( x ) - 1 ) + sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - (\frac{1}{sin ( x )})^{2} + sin^{2} (x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{sin ^{2} ( x )} + sin^{2} (x) - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Combiner les fractions

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{sin ^{2} ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} + sin^{2} (x) - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Convertir un élément en fraction:

sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{1} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Plus petit commun multiple de

sin^{2} (x), 1, cos^{2} (x) : sin^{2} (x) cos^{2} (x)

sin^{2} (x), 1, cos^{2} (x)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent dans au moins une des expressions factorisées

= sin^{2} (x) cos^{2} (x)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

sin^{2} (x) cos^{2} (x)

Pour

\frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos^{2} (x)

\frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{( cos ^{2} ( x ) - 1 ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Pour

\frac{sin ^{2} ( x )}{1} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin^{2} (x) cos^{2} (x)

\frac{sin ^{2} ( x )}{1} = \frac{sin ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{1 \cdot sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Pour

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin^{2} (x)

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) - 1 ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) - 1 ) cos ^{2} ( x ) + sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) ( cos ^{2} ( x ) - 1 ) + sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

\frac{- sin ^{4} ( x ) + ( - 1 + cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ^{4} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- sin^{4} (x) + (- 1 + cos^{2} (x)) cos^{2} (x) + cos^{2} (x) sin^{4} (x) = 0

Factoriser

- sin^{4} (x) + (- 1 + cos^{2} (x)) cos^{2} (x) + cos^{2} (x) sin^{4} (x) : (- 1 + cos (x)) (1 + cos (x)) (sin^{4} (x) + cos^{2} (x))

- sin^{4} (x) + (- 1 + cos^{2} (x)) cos^{2} (x) + cos^{2} (x) sin^{4} (x)

Factoriser

- 1 + cos^{2} (x) : (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

- 1 + cos^{2} (x)

Récrire

1

comme

1^{2}

= cos^{2} (x) - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - 1^{2} = (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

= (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

= - sin^{4} (x) + cos^{2} (x) (cos (x) + 1) (cos (x) - 1) + sin^{4} (x) cos^{2} (x)

Factoriser le terme commun

sin^{4} (x)

= sin^{4} (x) (- 1 + cos^{2} (x)) + (1 + cos (x)) (- 1 + cos (x)) cos^{2} (x)

Factoriser

cos^{2} (x) - 1 : (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

- 1 + cos^{2} (x)

Récrire

1

comme

1^{2}

= cos^{2} (x) - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - 1^{2} = (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

= (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

= sin^{4} (x) (cos (x) + 1) (cos (x) - 1) + cos^{2} (x) (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

Factoriser le terme commun

(- 1 + cos (x)) (1 + cos (x))

= (- 1 + cos (x)) (1 + cos (x)) (sin^{4} (x) + cos^{2} (x))

(- 1 + cos (x)) (1 + cos (x)) (sin^{4} (x) + cos^{2} (x)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

- 1 + cos (x) = 0 or 1 + cos (x) = 0 or sin^{4} (x) + cos^{2} (x) = 0

- 1 + cos (x) = 0 : x = 2 πn

- 1 + cos (x) = 0

Déplacer

1

vers la droite

- 1 + cos (x) = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

- 1 + cos (x) + 1 = 0 + 1

Simplifier

cos (x) = 1

cos (x) = 1

Solutions générales pour

cos (x) = 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

1 + cos (x) = 0 : x = π + 2 πn

1 + cos (x) = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 + cos (x) = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 + cos (x) - 1 = 0 - 1

Simplifier

cos (x) = - 1

cos (x) = - 1

Solutions générales pour

cos (x) = - 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sin^{4} (x) + cos^{2} (x) = 0 :

Aucune solution

sin^{4} (x) + cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos^{2} (x) + sin^{4} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

1 - sin^{2} (x) + sin^{4} (x) = 0

Résoudre par substitution

1 - sin^{2} (x) + sin^{4} (x) = 0

Soit :

sin (x) = u

1 - u^{2} + u^{4} = 0

1 - u^{2} + u^{4} = 0 : u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

1 - u^{2} + u^{4} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - u^{2} + 1 = 0

Récrire l'équation avec

a = u^{2}

a^{2} = u^{4}

a^{2} - a + 1 = 0

Résoudre

a^{2} - a + 1 = 0 : a = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, a = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

a^{2} - a + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

a^{2} - a + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = - 1, c = 1

a_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

a_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

Simplifier

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 : 3 i

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 - 4

Soustraire les nombres :

1 - 4 = - 3

= - 3

Appliquer la règle des radicaux:

- a = - 1 a

- 3 = - 1 3

= - 1 3

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

- 1 = i

= 3 i

a_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3 i}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

a_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3 i}{2 \cdot 1}, a_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3 i}{2 \cdot 1}

a = \frac{- ( - 1 ) + 3 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 3 i}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 + 3 i}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 3 i}{2}

Récrire

\frac{1 + 3 i}{2}

sous la forme complexe standard :

\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

\frac{1 + 3 i}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 3 i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

a = \frac{- ( - 1 ) - 3 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3 i}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 - 3 i}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 3 i}{2}

Récrire

\frac{1 - 3 i}{2}

sous la forme complexe standard :

\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

\frac{1 - 3 i}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - 3 i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

a = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, a = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

a = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, a = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Resubstituer

a = u^{2},

résoudre pour

u

Résoudre

u^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2} : u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

u^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Remplacer

u = a + bi

(a + bi)^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Développer

(a + bi)^{2} : (a^{2} - b^{2}) + 2 iab

(a + bi)^{2}

= (a + ib)^{2}

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = a, b = bi

= a^{2} + 2 abi + (bi)^{2}

(bi)^{2} = - b^{2}

(bi)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} b^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) b^{2}

Redéfinir

= - b^{2}

= a^{2} + 2 iab - b^{2}

Récrire

a^{2} + 2 iab - b^{2}

sous la forme complexe standard :

(a^{2} - b^{2}) + 2 abi

a^{2} + 2 iab - b^{2}

Grouper la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

(a^{2} - b^{2}) + 2 iab = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Les nombres complexes ne peuvent être égaux que si leur parties réelles et imaginaires sont égalesRécrire comme un système d'équations :

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = \frac{3}{2}]

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = \frac{3}{2}] : (a = \frac{3}{2}, a = - \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} b = - \frac{1}{2})

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = \frac{3}{2}]

Isoler

a

pour

2 ab = \frac{3}{2} : a = \frac{3}{4 b}

2 ab = \frac{3}{2}

Diviser les deux côtés par

2 b

2 ab = \frac{3}{2}

Diviser les deux côtés par

2 b

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{\frac{3}{2}}{2 b}

Simplifier

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{\frac{3}{2}}{2 b}

Simplifier

\frac{2 ab}{2 b} : a

\frac{2 ab}{2 b}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= \frac{ab}{b}

Annuler le facteur commun :

b

= a

Simplifier

\frac{\frac{3}{2}}{2 b} : \frac{3}{4 b}

\frac{\frac{3}{2}}{2 b}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 \cdot 2 b}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4 b}

a = \frac{3}{4 b}

a = \frac{3}{4 b}

a = \frac{3}{4 b}

Intégrer les solutions

a = \frac{3}{4 b}

dans

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Pour

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

, remplacer

a

par

\frac{3}{4 b} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Pour

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

, remplacer

a

par

\frac{3}{4 b}

(\frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Résoudre

(\frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

(\frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Multiplier par le PPCM

(\frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

(\frac{3}{4 b})^{2} : \frac{3}{16 b ^{2}}

(\frac{3}{4 b})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 4 b ) ^{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(4 b)^{2} = 4^{2} b^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{4 ^{2} b ^{2}}

(3)^{2} : 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 3

= \frac{3}{4 ^{2} b ^{2}}

4^{2} = 16

= \frac{3}{16 b ^{2}}

\frac{3}{16 b ^{2}} - b^{2} = \frac{1}{2}

Trouver le plus petit commun multiple de

16 b^{2}, 2 : 16 b^{2}

16 b^{2}, 2

Plus petit commun multiple (PPCM)

Plus petit commun multiple de

16, 2 : 16

16, 2

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

16 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

16

divisée par

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Factorisation première de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

16

2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

16 b^{2}

ou dans

2

= 16 b^{2}

Multipier par PPCM =

16 b^{2}

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} - b^{2} \cdot 16 b^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Simplifier

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} - b^{2} \cdot 16 b^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Simplifier

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} : 3

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 16 b ^{2}}{16 b ^{2}}

Annuler le facteur commun :

16

= \frac{3 b ^{2}}{b ^{2}}

Annuler le facteur commun :

b^{2}

= 3

Simplifier

- b^{2} \cdot 16 b^{2} : - 16 b^{4}

- b^{2} \cdot 16 b^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

b^{2} b^{2} = b^{2 + 2}

= - 16 b^{2 + 2}

Additionner les nombres :

2 + 2 = 4

= - 16 b^{4}

Simplifier

\frac{1}{2} \cdot 16 b^{2} : 8 b^{2}

\frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 16}{2} b^{2}

\frac{1 \cdot 16}{2} = 8

\frac{1 \cdot 16}{2}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 16 = 16

= \frac{16}{2}

Diviser les nombres :

\frac{16}{2} = 8

= 8

= 8 b^{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Résoudre

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Déplacer

8 b^{2}

vers la gauche

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Soustraire

8 b^{2}

des deux côtés

3 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 8 b^{2} - 8 b^{2}

Simplifier

3 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 0

3 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 16 b^{4} - 8 b^{2} + 3 = 0

Récrire l'équation avec

u = b^{2}

u^{2} = b^{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Résoudre

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 16, b = - 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3 = 16

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 16 \cdot 3 = 192

= 8^{2} + 192

8^{2} = 64

= 64 + 192

Additionner les nombres :

64 + 192 = 256

= 256

Factoriser le nombre :

256 = 1 6^{2}

= 1 6^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

1 6^{2} = 16

= 16

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 16}{2 ( - 16 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )} : - \frac{3}{4}

\frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 16}{- 2 \cdot 16}

Additionner les nombres :

8 + 16 = 24

= \frac{24}{- 2 \cdot 16}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 16 = 32

= \frac{24}{- 32}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24}{32}

Annuler le facteur commun :

8

= - \frac{3}{4}

u = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 16}{- 2 \cdot 16}

Soustraire les nombres :

8 - 16 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 16}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 8}{- 32}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{32}

Annuler le facteur commun :

8

= \frac{1}{4}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

Resubstituer

u = b^{2},

résoudre pour

b

Résoudre

b^{2} = - \frac{3}{4} :

Aucune solution pour

b \in R

b^{2} = - \frac{3}{4}

x^{2}

ne peut pas être négative pour

x \in R

Aucune solution pour b \in R

Résoudre

b^{2} = \frac{1}{4} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

b^{2} = \frac{1}{4}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

b = \frac{1}{4}, b = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Appliquer la règle des radicaux:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

Appliquer la règle des radicaux:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Appliquer la règle des radicaux:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{4}

Appliquer la règle des radicaux:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{4}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{1}{2}

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Les solutions sont

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

b = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

(\frac{3}{4 b})^{2} - b^{2}

et le comparer à zéro

Résoudre

4 b = 0 : b = 0

4 b = 0

Diviser les deux côtés par

4

4 b = 0

Diviser les deux côtés par

4

\frac{4 b}{4} = \frac{0}{4}

Simplifier

b = 0

b = 0

Les points suivants ne sont pas définis

b = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Intégrer les solutions

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

dans

2 ab = \frac{3}{2}

Pour

2 ab = \frac{3}{2}

, remplacer

b

par

\frac{1}{2} : a = \frac{3}{2}

Pour

2 ab = \frac{3}{2}

, remplacer

b

par

\frac{1}{2}

2 a \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Résoudre

2 a \frac{1}{2} = \frac{3}{2} : a = \frac{3}{2}

2 a \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

\frac{1 \cdot 2}{2} a = \frac{3}{2}

Annuler le facteur commun :

2

a \cdot 1 = \frac{3}{2}

Multiplier:

a \cdot 1 = a

a = \frac{3}{2}

Pour

2 ab = \frac{3}{2}

, remplacer

b

par

- \frac{1}{2} : a = - \frac{3}{2}

Pour

2 ab = \frac{3}{2}

, remplacer

b

par

- \frac{1}{2}

2 a (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Résoudre

2 a (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} : a = - \frac{3}{2}

2 a (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Diviser les deux côtés par

2 (- \frac{1}{2})

2 a (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Diviser les deux côtés par

2 (- \frac{1}{2})

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Simplifier

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Simplifier

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} : a

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 a \frac{1}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 a \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplier

2 a \frac{1}{2} : a

2 a \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 a}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1 \cdot a

Multiplier:

1 \cdot a = a

= a

= \frac{a}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplier

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= \frac{a}{1}

Appliquer la règle

\frac{a}{1} = a

= a

Simplifier

\frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )} : - \frac{3}{2}

\frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{\frac{3}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}

= - \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= - \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplier

4 \cdot \frac{1}{2} : 2

4 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{2}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{2}

Diviser les nombres :

\frac{4}{2} = 2

= 2

= - \frac{3}{2}

a = - \frac{3}{2}

a = - \frac{3}{2}

a = - \frac{3}{2}

Vérifier des solutions en les intégrant dans les équations d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

a = - \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2} :

vrai

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Insérer

a = - \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2}

(- \frac{3}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Redéfinir

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

vrai

Vérifier la solution

a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} :

vrai

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Insérer

a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}

(\frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Redéfinir

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

vrai

Vérifier des solutions en les intégrant dans

2 ab = \frac{3}{2}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

a = - \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2} :

vrai

2 ab = \frac{3}{2}

Insérer

a = - \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2}

2 (- \frac{3}{2}) (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Redéfinir

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

vrai

Vérifier la solution

a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} :

vrai

2 ab = \frac{3}{2}

Insérer

a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Redéfinir

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

vrai

Par conséquent, les solutions finales pour

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}, 2 ab = \frac{3}{2}

sont

(a = \frac{3}{2}, a = - \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} b = - \frac{1}{2})

Remplacer

u = a + bi

u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Résoudre

u^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2} : u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

u^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Remplacer

u = a + bi

(a + bi)^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Développer

(a + bi)^{2} : (a^{2} - b^{2}) + 2 iab

(a + bi)^{2}

= (a + ib)^{2}

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = a, b = bi

= a^{2} + 2 abi + (bi)^{2}

(bi)^{2} = - b^{2}

(bi)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} b^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) b^{2}

Redéfinir

= - b^{2}

= a^{2} + 2 iab - b^{2}

Récrire

a^{2} + 2 iab - b^{2}

sous la forme complexe standard :

(a^{2} - b^{2}) + 2 abi

a^{2} + 2 iab - b^{2}

Grouper la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

(a^{2} - b^{2}) + 2 iab = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Les nombres complexes ne peuvent être égaux que si leur parties réelles et imaginaires sont égalesRécrire comme un système d'équations :

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = - \frac{3}{2}]

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = - \frac{3}{2}] : (a = - \frac{3}{2}, a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} b = - \frac{1}{2})

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = - \frac{3}{2}]

Isoler

a

pour

2 ab = - \frac{3}{2} : a = - \frac{3}{4 b}

2 ab = - \frac{3}{2}

Diviser les deux côtés par

2 b

2 ab = - \frac{3}{2}

Diviser les deux côtés par

2 b

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 b}

Simplifier

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 b}

Simplifier

\frac{2 ab}{2 b} : a

\frac{2 ab}{2 b}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= \frac{ab}{b}

Annuler le facteur commun :

b

= a

Simplifier

\frac{- \frac{3}{2}}{2 b} : - \frac{3}{4 b}

\frac{- \frac{3}{2}}{2 b}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2}}{2 b}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{3}{2}}{2 b} = \frac{3}{2 \cdot 2 b}

= - \frac{3}{2 \cdot 2 b}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= - \frac{3}{4 b}

a = - \frac{3}{4 b}

a = - \frac{3}{4 b}

a = - \frac{3}{4 b}

Intégrer les solutions

a = - \frac{3}{4 b}

dans

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Pour

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

, remplacer

a

par

- \frac{3}{4 b} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Pour

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

, remplacer

a

par

- \frac{3}{4 b}

(- \frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Résoudre

(- \frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

(- \frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Multiplier par le PPCM

(- \frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

(- \frac{3}{4 b})^{2} : \frac{3}{16 b ^{2}}

(- \frac{3}{4 b})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- \frac{3}{4 b})^{2} = (\frac{3}{4 b})^{2}

= (\frac{3}{4 b})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 4 b ) ^{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(4 b)^{2} = 4^{2} b^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{4 ^{2} b ^{2}}

(3)^{2} : 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 3

= \frac{3}{4 ^{2} b ^{2}}

4^{2} = 16

= \frac{3}{16 b ^{2}}

\frac{3}{16 b ^{2}} - b^{2} = \frac{1}{2}

Trouver le plus petit commun multiple de

16 b^{2}, 2 : 16 b^{2}

16 b^{2}, 2

Plus petit commun multiple (PPCM)

Plus petit commun multiple de

16, 2 : 16

16, 2

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

16 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

16

divisée par

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Factorisation première de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

16

2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

16 b^{2}

ou dans

2

= 16 b^{2}

Multipier par PPCM =

16 b^{2}

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} - b^{2} \cdot 16 b^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Simplifier

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} - b^{2} \cdot 16 b^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Simplifier

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} : 3

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 16 b ^{2}}{16 b ^{2}}

Annuler le facteur commun :

16

= \frac{3 b ^{2}}{b ^{2}}

Annuler le facteur commun :

b^{2}

= 3

Simplifier

- b^{2} \cdot 16 b^{2} : - 16 b^{4}

- b^{2} \cdot 16 b^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

b^{2} b^{2} = b^{2 + 2}

= - 16 b^{2 + 2}

Additionner les nombres :

2 + 2 = 4

= - 16 b^{4}

Simplifier

\frac{1}{2} \cdot 16 b^{2} : 8 b^{2}

\frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 16}{2} b^{2}

\frac{1 \cdot 16}{2} = 8

\frac{1 \cdot 16}{2}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 16 = 16

= \frac{16}{2}

Diviser les nombres :

\frac{16}{2} = 8

= 8

= 8 b^{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Résoudre

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Déplacer

8 b^{2}

vers la gauche

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Soustraire

8 b^{2}

des deux côtés

3 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 8 b^{2} - 8 b^{2}

Simplifier

3 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 0

3 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 16 b^{4} - 8 b^{2} + 3 = 0

Récrire l'équation avec

u = b^{2}

u^{2} = b^{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Résoudre

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 16, b = - 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3 = 16

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 16 \cdot 3 = 192

= 8^{2} + 192

8^{2} = 64

= 64 + 192

Additionner les nombres :

64 + 192 = 256

= 256

Factoriser le nombre :

256 = 1 6^{2}

= 1 6^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

1 6^{2} = 16

= 16

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 16}{2 ( - 16 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )} : - \frac{3}{4}

\frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 16}{- 2 \cdot 16}

Additionner les nombres :

8 + 16 = 24

= \frac{24}{- 2 \cdot 16}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 16 = 32

= \frac{24}{- 32}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24}{32}

Annuler le facteur commun :

8

= - \frac{3}{4}

u = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 16}{- 2 \cdot 16}

Soustraire les nombres :

8 - 16 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 16}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 8}{- 32}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{32}

Annuler le facteur commun :

8

= \frac{1}{4}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

Resubstituer

u = b^{2},

résoudre pour

b

Résoudre

b^{2} = - \frac{3}{4} :

Aucune solution pour

b \in R

b^{2} = - \frac{3}{4}

x^{2}

ne peut pas être négative pour

x \in R

Aucune solution pour b \in R

Résoudre

b^{2} = \frac{1}{4} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

b^{2} = \frac{1}{4}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

b = \frac{1}{4}, b = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Appliquer la règle des radicaux:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

Appliquer la règle des radicaux:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Appliquer la règle des radicaux:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{4}

Appliquer la règle des radicaux:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{4}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{1}{2}

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Les solutions sont

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

b = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

(- \frac{3}{4 b})^{2} - b^{2}

et le comparer à zéro

Résoudre

4 b = 0 : b = 0

4 b = 0

Diviser les deux côtés par

4

4 b = 0

Diviser les deux côtés par

4

\frac{4 b}{4} = \frac{0}{4}

Simplifier

b = 0

b = 0

Les points suivants ne sont pas définis

b = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Intégrer les solutions

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

dans

2 ab = - \frac{3}{2}

Pour

2 ab = - \frac{3}{2}

, remplacer

b

par

\frac{1}{2} : a = - \frac{3}{2}

Pour

2 ab = - \frac{3}{2}

, remplacer

b

par

\frac{1}{2}

2 a \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Résoudre

2 a \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} : a = - \frac{3}{2}

2 a \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

\frac{1 \cdot 2}{2} a = - \frac{3}{2}

Annuler le facteur commun :

2

a \cdot 1 = - \frac{3}{2}

Multiplier:

a \cdot 1 = a

a = - \frac{3}{2}

Pour

2 ab = - \frac{3}{2}

, remplacer

b

par

- \frac{1}{2} : a = \frac{3}{2}

Pour

2 ab = - \frac{3}{2}

, remplacer

b

par

- \frac{1}{2}

2 a (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Résoudre

2 a (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} : a = \frac{3}{2}

2 a (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Diviser les deux côtés par

2 (- \frac{1}{2})

2 a (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Diviser les deux côtés par

2 (- \frac{1}{2})

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Simplifier

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Simplifier

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} : a

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 a \frac{1}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 a \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplier

2 a \frac{1}{2} : a

2 a \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 a}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1 \cdot a

Multiplier:

1 \cdot a = a

= a

= \frac{a}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplier

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= \frac{a}{1}

Appliquer la règle

\frac{a}{1} = a

= a

Simplifier

\frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )} : \frac{3}{2}

\frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- \frac{3}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplier

4 \cdot \frac{1}{2} : 2

4 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{2}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{2}

Diviser les nombres :

\frac{4}{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

a = \frac{3}{2}

a = \frac{3}{2}

a = \frac{3}{2}

Vérifier des solutions en les intégrant dans les équations d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

a = \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2} :

vrai

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Insérer

a = \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2}

(\frac{3}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Redéfinir

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

vrai

Vérifier la solution

a = - \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} :

vrai

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Insérer

a = - \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}

(- \frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Redéfinir

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

vrai

Vérifier des solutions en les intégrant dans

2 ab = - \frac{3}{2}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

a = \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2} :

vrai

2 ab = - \frac{3}{2}

Insérer

a = \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{3}{2} (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Redéfinir

- \frac{3}{2} = - \frac{3}{2}

vrai

Vérifier la solution

a = - \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} :

vrai

2 ab = - \frac{3}{2}

Insérer

a = - \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}

2 (- \frac{3}{2}) \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Redéfinir

- \frac{3}{2} = - \frac{3}{2}

vrai

Par conséquent, les solutions finales pour

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}, 2 ab = - \frac{3}{2}

sont

(a = - \frac{3}{2}, a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} b = - \frac{1}{2})

Remplacer

u = a + bi

u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Les solutions sont

u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sin (x) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, sin (x) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sin (x) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

sin (x) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sin (x) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, sin (x) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sin (x) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

sin (x) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i :

Aucune solution

sin (x) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i

Aucune solution

sin (x) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i :

Aucune solution

sin (x) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Aucune solution

sin (x) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i :

Aucune solution

sin (x) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i

Aucune solution

sin (x) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i :

Aucune solution

sin (x) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Puisque l'équation n'est pas définie pour :

2 πn, π + 2 πn

Aucune solution pour x \in R

Graphe

Exemples populaires

sin(x)= 53/54

sin (x) = \frac{53}{54}

2sin^2(x)+sin(x)-3=0

2 sin^{2} (x) + sin (x) - 3 = 0

(2cos(x)-1)sin(x)=0

(2 cos (x) - 1) sin (x) = 0

solvefor u,x=4sin(u)

so l v e f or u, x = 4 sin (u)

2cos(θ)=sqrt(2),0<= θ<2pi

2 cos (θ) = 2, 0 \leq θ < 2 π