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Beliebt Trigonometrie >

sec^2(θ)(1+cos^2(θ))=2-tan^2(θ)

Lösung

sec^{2} (θ) (1 + cos^{2} (θ)) = 2 - tan^{2} (θ)

Lösung

θ = πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sec^{2} (θ) (1 + cos^{2} (θ)) = 2 - tan^{2} (θ)

Subtrahiere

2 - tan^{2} (θ)

von beiden Seiten

sec^{2} (θ) + sec^{2} (θ) cos^{2} (θ) - 2 + tan^{2} (θ) = 0

Drücke mit sin, cos aus

- 2 + sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ) + cos^{2} (θ) sec^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 2 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} + tan^{2} (θ) + cos^{2} (θ) (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 2 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} + cos^{2} (θ) (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Vereinfache

- 2 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} + cos^{2} (θ) (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} : \frac{sin ^{2} ( θ ) + 1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

- 2 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} + cos^{2} (θ) (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

cos^{2} (θ) (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = 1

cos^{2} (θ) (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} cos^{2} (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (θ)

= 1

= - 2 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + 1

Ziehe Brüche zusammen

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} : \frac{1 + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - 2 + \frac{sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )} + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )} - 2 + 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 1 = - 1

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )} - 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )} - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + 1 - 1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + 1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + 1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

\frac{1 - cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

- cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = - cos (2 x)

= 1 - cos (2 θ)

1 - cos (2 θ) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - cos (2 θ) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - cos (2 θ) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- cos (2 θ) = - 1

- cos (2 θ) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- cos (2 θ) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- cos ( 2 θ )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

cos (2 θ) = 1

cos (2 θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (2 θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 θ = 0 + 2 πn

2 θ = 0 + 2 πn

Löse

2 θ = 0 + 2 πn : θ = πn

2 θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

2 θ = 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

θ = πn

θ = πn

θ = πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x)sin(x)-cos(2x)cos(x)=-cos(x)

sin (2 x) sin (x) - cos (2 x) cos (x) = - cos (x)

2sin(3x)cos(3x)=1

2 sin (3 x) cos (3 x) = 1

cos(θ)=sqrt(2)

cos (θ) = 2

6sin(x)+15=15

6 sin (x) + 15 = 15

sin(x)=1+cos^2(x)

sin (x) = 1 + cos^{2} (x)