English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Populaire Trigonométrie >

sin^2(a)+1/(sec(a))= 5/4

Solution

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

Solution

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Degrés

a = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

Soustraire

\frac{5}{4}

des deux côtés

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} - \frac{5}{4} = 0

Simplifier

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} - \frac{5}{4} : \frac{4 sin ^{2} ( a ) sec ( a ) + 4 - 5 sec ( a )}{4 sec ( a )}

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} - \frac{5}{4}

Convertir un élément en fraction:

sin^{2} (a) = \frac{sin ^{2} ( a )}{1}

= \frac{sin ^{2} ( a )}{1} + \frac{1}{sec ( a )} - \frac{5}{4}

Plus petit commun multiple de

1, sec (a), 4 : 4 sec (a)

1, sec (a), 4

Plus petit commun multiple (PPCM)

Plus petit commun multiple de

1, 4 : 4

1, 4

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

1

Factorisation première de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

1

4

= 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent dans au moins une des expressions factorisées

= 4 sec (a)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

4 sec (a)

Pour

\frac{sin ^{2} ( a )}{1} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

4 sec (a)

\frac{sin ^{2} ( a )}{1} = \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4 sec ( a )}{1 \cdot 4 sec ( a )} = \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4 sec ( a )}{4 sec ( a )}

Pour

\frac{1}{sec ( a )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

4

\frac{1}{sec ( a )} = \frac{1 \cdot 4}{sec ( a ) \cdot 4} = \frac{4}{4 sec ( a )}

Pour

\frac{5}{4} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sec (a)

\frac{5}{4} = \frac{5 sec ( a )}{4 sec ( a )}

= \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4 sec ( a )}{4 sec ( a )} + \frac{4}{4 sec ( a )} - \frac{5 sec ( a )}{4 sec ( a )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4 sec ( a ) + 4 - 5 sec ( a )}{4 sec ( a )}

\frac{4 sin ^{2} ( a ) sec ( a ) + 4 - 5 sec ( a )}{4 sec ( a )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 sin^{2} (a) sec (a) + 4 - 5 sec (a) = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )} + 4 - 5 \cdot \frac{1}{cos ( a )} = 0

Simplifier

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )} + 4 - 5 \cdot \frac{1}{cos ( a )} : \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5 + 4 cos ( a )}{cos ( a )}

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )} + 4 - 5 \cdot \frac{1}{cos ( a )}

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )} = \frac{4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )}

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )}

5 \cdot \frac{1}{cos ( a )} = \frac{5}{cos ( a )}

5 \cdot \frac{1}{cos ( a )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{cos ( a )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{cos ( a )}

= \frac{4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )} + 4 - \frac{5}{cos ( a )}

Combiner les fractions

\frac{4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )} - \frac{5}{cos ( a )} : \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5}{cos ( a )}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5}{cos ( a )}

= \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5}{cos ( a )} + 4

Convertir un élément en fraction:

4 = \frac{4 cos ( a )}{cos ( a )}

= \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5}{cos ( a )} + \frac{4 cos ( a )}{cos ( a )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5 + 4 cos ( a )}{cos ( a )}

\frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5 + 4 cos ( a )}{cos ( a )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a) = 0

Soustraire

4 cos (a)

des deux côtés

4 sin^{2} (a) - 5 = - 4 cos (a)

Mettre les deux côtés au carré

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} = (- 4 cos (a))^{2}

Soustraire

(- 4 cos (a))^{2}

des deux côtés

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a) = 0

Factoriser

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a) : (4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a)) (4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a))

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a)

Récrire

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a)

comme

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - (4 cos (a))^{2}

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a)

Récrire

16

comme

4^{2}

= (4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 4^{2} cos^{2} (a)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

4^{2} cos^{2} (a) = (4 cos (a))^{2}

= (4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - (4 cos (a))^{2}

= (4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - (4 cos (a))^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - (4 cos (a))^{2} = ((4 sin^{2} (a) - 5) + 4 cos (a)) ((4 sin^{2} (a) - 5) - 4 cos (a))

= ((4 sin^{2} (a) - 5) + 4 cos (a)) ((4 sin^{2} (a) - 5) - 4 cos (a))

Redéfinir

= (4 sin^{2} (a) + 4 cos (a) - 5) (4 sin^{2} (a) - 4 cos (a) - 5)

(4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a)) (4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a) = 0 or 4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a) = 0

4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a) = 0 : a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 5 + 4 cos (a) + 4 sin^{2} (a)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 5 + 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a))

Simplifier

- 5 + 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a)) : 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

- 5 + 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a))

Développer

4 (1 - cos^{2} (a)) : 4 - 4 cos^{2} (a)

4 (1 - cos^{2} (a))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (a)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (a)

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (a)

= - 5 + 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a)

Simplifier

- 5 + 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a) : 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

- 5 + 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a)

Grouper comme termes

= 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 5 + 4

Additionner/Soustraire les nombres :

- 5 + 4 = - 1

= 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

= 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

= 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

- 1 + 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) = 0

Résoudre par substitution

- 1 + 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) = 0

Soit :

cos (a) = u

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 4, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

4^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 0

4^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Soustraire les nombres :

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 4}{2 ( - 4 )}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )} = \frac{1}{2}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

La solution de l'équation de forme quadratique est :

u = \frac{1}{2}

Remplacer

u = cos (a)

cos (a) = \frac{1}{2}

cos (a) = \frac{1}{2}

cos (a) = \frac{1}{2} : a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (a) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (a) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a) = 0 : a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 5 - 4 cos (a) + 4 sin^{2} (a)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 5 - 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a))

Simplifier

- 5 - 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a)) : - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

- 5 - 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a))

Développer

4 (1 - cos^{2} (a)) : 4 - 4 cos^{2} (a)

4 (1 - cos^{2} (a))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (a)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (a)

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (a)

= - 5 - 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a)

Simplifier

- 5 - 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a) : - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

- 5 - 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a)

Grouper comme termes

= - 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 5 + 4

Additionner/Soustraire les nombres :

- 5 + 4 = - 1

= - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

= - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

= - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

- 1 - 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) = 0

Résoudre par substitution

- 1 - 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) = 0

Soit :

cos (a) = u

- 1 - 4 u - 4 u^{2} = 0

- 1 - 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}

- 1 - 4 u - 4 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 4, b = - 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 0

(- 4)^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Soustraire les nombres :

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 4 )}{2 ( - 4 )}

\frac{- ( - 4 )}{2 ( - 4 )} = - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 )}{2 ( - 4 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4}{- 2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{- 8}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Annuler le facteur commun :

4

= - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

La solution de l'équation de forme quadratique est :

u = - \frac{1}{2}

Remplacer

u = cos (a)

cos (a) = - \frac{1}{2}

cos (a) = - \frac{1}{2}

cos (a) = - \frac{1}{2} : a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (a) = - \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (a) = - \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn, a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

\frac{π}{3} + 2 πn :

vrai

\frac{π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Pour

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

insérer

a = \frac{π}{3} + 2 π 1

sin^{2} (\frac{π}{3} + 2 π 1) + \frac{1}{sec ( \frac{π}{3} + 2 π 1 )} = \frac{5}{4}

Redéfinir

1.25 = 1.25

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

vrai

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Pour

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

insérer

a = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

sin^{2} (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) + \frac{1}{sec ( \frac{5 π}{3} + 2 π 1 )} = \frac{5}{4}

Redéfinir

1.25 = 1.25

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Faux

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Pour

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

insérer

a = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

sin^{2} (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) + \frac{1}{sec ( \frac{2 π}{3} + 2 π 1 )} = \frac{5}{4}

Redéfinir

0.25 = 1.25

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Faux

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Pour

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

insérer

a = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

sin^{2} (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) + \frac{1}{sec ( \frac{4 π}{3} + 2 π 1 )} = \frac{5}{4}

Redéfinir

0.25 = 1.25

\Rightarrow Faux

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

(csc(x))/(cot(x))=sqrt(2)

\frac{csc ( x )}{cot ( x )} = 2

sin(4x)+6cos(2x)=0

sin (4 x) + 6 cos (2 x) = 0

sec(a)= 41/12 ,2pi<a<(5pi)/2 ,sin(a/2)

sec (a) = \frac{41}{12}, 2 π < a < \frac{5 π}{2}, sin (\frac{a}{2})

sin(2x)=0.3

sin (2 x) = 0.3

sin(2x)=0.6

sin (2 x) = 0.6