English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

1+cos(θ)=sqrt(3)sin(θ)

פתרון

1 + cos (θ) = 3 sin (θ)

פתרון

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = π + 2 πn

מעלות

θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

צעדי פתרון

1 + cos (θ) = 3 sin (θ)

העלה בריבוע את שני האגפים

(1 + cos (θ))^{2} = (3 sin (θ))^{2}

משני האגפים

(3 sin (θ))^{2}

החסר

(1 + cos (θ))^{2} - 3 sin^{2} (θ) = 0

Rewrite using trig identities

(1 + cos (θ))^{2} - 3 sin^{2} (θ)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (1 + cos (θ))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (θ))

(1 + cos (θ))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (θ))

פשט את:

4 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 2

(1 + cos (θ))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (θ))

(1 + cos (θ))^{2} : 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

:הפעל נוסחת הכפל המקוצר

a = 1, b = cos (θ)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

פשט את:

1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

2 \cdot 1 = 2 :

הכפל את המספרים

= 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 3 (1 - cos^{2} (θ))

- 3 (1 - cos^{2} (θ))

הרחב את:

- 3 + 3 cos^{2} (θ)

- 3 (1 - cos^{2} (θ))

a (b - c) = ab - a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = - 3, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) cos^{2} (θ)

הפעל חוקי מינוס-פלוס

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 cos^{2} (θ)

3 \cdot 1 = 3 :

הכפל את המספרים

= - 3 + 3 cos^{2} (θ)

= 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 3 + 3 cos^{2} (θ)

1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 3 + 3 cos^{2} (θ)

פשט את:

4 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 2

1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 3 + 3 cos^{2} (θ)

קבץ ביטויים דומים יחד

= 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 3 cos^{2} (θ) + 1 - 3

cos^{2} (θ) + 3 cos^{2} (θ) = 4 cos^{2} (θ) :

חבר איברים דומים

= 2 cos (θ) + 4 cos^{2} (θ) + 1 - 3

1 - 3 = - 2 :

חסר/חבר את המספרים

= 4 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 2

= 4 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 2

= 4 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 2

- 2 + 2 cos (θ) + 4 cos^{2} (θ) = 0

בעזרת שיטת ההצבה

- 2 + 2 cos (θ) + 4 cos^{2} (θ) = 0

cos (θ) = u :

נניח ש

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 1

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0

a x^{2} + b x + c = 0

כתוב בצורה הסטנדרטית

4 u^{2} + 2 u - 2 = 0

פתור בעזרת הנוסחה הריבועית

4 u^{2} + 2 u - 2 = 0

הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית

a = 4, b = 2, c = - 2

עבור

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

- (- a) = a

הפעל את החוק

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32 :

הכפל את המספרים

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

4 + 32 = 36 :

חבר את המספרים

= 36

36 = 6^{2} :

פרק את המספר לגורמים הראשוניים שלו

= 6^{2}

:הפעל את חוק השורשים

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 6}{2 \cdot 4}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4} : \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4}

- 2 + 6 = 4 :

חסר/חבר את המספרים

= \frac{4}{2 \cdot 4}

2 \cdot 4 = 8 :

הכפל את המספרים

= \frac{4}{8}

4 :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4} : - 1

\frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4}

- 2 - 6 = - 8 :

חסר את המספרים

= \frac{- 8}{2 \cdot 4}

2 \cdot 4 = 8 :

הכפל את המספרים

= \frac{- 8}{8}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{8}{8}

\frac{a}{a} = 1

הפעל את החוק

= - 1

הפתרונות למשוואה הריבועית הם

u = \frac{1}{2}, u = - 1

u = cos (θ)

החלף בחזרה

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = - 1

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = - 1

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{1}{2} :

פתרונות כלליים עבור

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

cos (θ) = - 1 :

פתרונות כלליים עבור

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

אחד את הפתרונות

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = π + 2 πn

וודא את נכונות הפתרונות על ידי הצבתם במשוואה המקורית

כדי לבדוק את נכונותם

1 + cos (θ) = 3 sin (θ)

הצב את הפתרונות ב

מחק את הפתרונות שמביאים לביטוי שקר

\frac{π}{3} + 2 πn

בדוק את הפתרון:

נכון

\frac{π}{3} + 2 πn

n = 1

החלף את

\frac{π}{3} + 2 π 1

θ = \frac{π}{3} + 2 π 1

הצב

, 1 + cos (θ) = 3 sin (θ)

עבור

1 + cos (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 3 sin (\frac{π}{3} + 2 π 1)

פשט

1.5 = 1.5

\Rightarrow נכון

\frac{5 π}{3} + 2 πn

בדוק את הפתרון:

לא נכון

\frac{5 π}{3} + 2 πn

n = 1

החלף את

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

θ = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

הצב

, 1 + cos (θ) = 3 sin (θ)

עבור

1 + cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 3 sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1)

פשט

1.5 = - 1.5

\Rightarrow לא נכון

π + 2 πn

בדוק את הפתרון:

נכון

π + 2 πn

n = 1

החלף את

π + 2 π 1

θ = π + 2 π 1

הצב

, 1 + cos (θ) = 3 sin (θ)

עבור

1 + cos (π + 2 π 1) = 3 sin (π + 2 π 1)

פשט

0 = 0

\Rightarrow נכון

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = π + 2 πn

גרף

דוגמאות פופולריות