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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)-11cos(x)+6=0

Lösung

cos (2 x) - 11 cos (x) + 6 = 0

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) - 11 cos (x) + 6 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

6 + cos (2 x) - 11 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 6 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 11 cos (x)

Vereinfache

6 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 11 cos (x) : 2 cos^{2} (x) - 11 cos (x) + 5

6 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 11 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) - 11 cos (x) + 6 - 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

6 - 1 = 5

= 2 cos^{2} (x) - 11 cos (x) + 5

= 2 cos^{2} (x) - 11 cos (x) + 5

5 - 11 cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

5 - 11 cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

5 - 11 u + 2 u^{2} = 0

5 - 11 u + 2 u^{2} = 0 : u = 5, u = \frac{1}{2}

5 - 11 u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 11 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 11 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 11, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 11 ) \pm ( - 11 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 11 ) \pm ( - 11 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}{2 \cdot 2}

(- 11)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9

(- 11)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 11)^{2} = 1 1^{2}

= 1 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 5 = 40

= 1 1^{2} - 40

1 1^{2} = 121

= 121 - 40

Subtrahiere die Zahlen:

121 - 40 = 81

= 81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 11 ) \pm 9}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 11 ) + 9}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 11 ) - 9}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 11 ) + 9}{2 \cdot 2} : 5

\frac{- ( - 11 ) + 9}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{11 + 9}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

11 + 9 = 20

= \frac{20}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{20}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{20}{4} = 5

= 5

u = \frac{- ( - 11 ) - 9}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 11 ) - 9}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{11 - 9}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

11 - 9 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 5, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 5, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = 5, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = 5 :

Keine Lösung

cos (x) = 5

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)=-0.45

sin (x) = - 0.45

sin(x)=-0.59

sin (x) = - 0.59

sin(x)=-0.55

sin (x) = - 0.55

2sin(2x)+3cos(x)=0

2 sin (2 x) + 3 cos (x) = 0

cot(y)+2=1-csc(y)

cot (y) + 2 = 1 - csc (y)