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Populaire Trigonométrie >

tan(2x)-2sin(x)=0

Solution

tan (2 x) - 2 sin (x) = 0

Solution

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{4 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 πn}{3}

Degrés

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 24 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 24 0^{\circ} n

étapes des solutions

tan (2 x) - 2 sin (x) = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

tan (2 x) - 2 sin (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 2 sin (x)

Simplifier

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 2 sin (x) : \frac{sin ( 2 x ) - 2 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 2 sin (x)

Convertir un élément en fraction:

2 sin (x) = \frac{2 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{2 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) - 2 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) - 2 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{sin ( 2 x ) - 2 cos ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (2 x) - 2 cos (2 x) sin (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (2 x) - 2 cos (2 x) sin (x)

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x) - 2 cos (2 x) sin (x)

- 2 cos (2 x) sin (x) + 2 cos (x) sin (x) = 0

Factoriser

- 2 cos (2 x) sin (x) + 2 cos (x) sin (x) : 2 sin (x) (- cos (2 x) + cos (x))

- 2 cos (2 x) sin (x) + 2 cos (x) sin (x)

Récrire comme

= - 2 sin (x) cos (2 x) + 2 sin (x) cos (x)

Factoriser le terme commun

2 sin (x)

= 2 sin (x) (- cos (2 x) + cos (x))

2 sin (x) (- cos (2 x) + cos (x)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

sin (x) = 0 or - cos (2 x) + cos (x) = 0

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

- cos (2 x) + cos (x) = 0 : x = \frac{4 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 πn}{3}

- cos (2 x) + cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- cos (2 x) + cos (x)

Utiliser l'identité de la somme au produit:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 2 sin (\frac{x + 2 x}{2}) sin (\frac{x - 2 x}{2})

Simplifier

- 2 sin (\frac{x + 2 x}{2}) sin (\frac{x - 2 x}{2}) : 2 sin (\frac{x}{2}) sin (\frac{3 x}{2})

- 2 sin (\frac{x + 2 x}{2}) sin (\frac{x - 2 x}{2})

Additionner les éléments similaires :

x + 2 x = 3 x

= - 2 sin (\frac{3 x}{2}) sin (\frac{x - 2 x}{2})

\frac{x - 2 x}{2} = - \frac{x}{2}

\frac{x - 2 x}{2}

Additionner les éléments similaires :

x - 2 x = - x

= \frac{- x}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{x}{2}

= - 2 sin (\frac{3 x}{2}) sin (- \frac{x}{2})

Utiliser l'identité de l'angle négatif:

sin (- x) = - sin (x)

= - 2 (- sin (\frac{x}{2})) sin (\frac{3 x}{2})

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 2 sin (\frac{x}{2}) sin (\frac{3 x}{2})

= 2 sin (\frac{x}{2}) sin (\frac{3 x}{2})

2 sin (\frac{3 x}{2}) sin (\frac{x}{2}) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

sin (\frac{3 x}{2}) = 0 or sin (\frac{x}{2}) = 0

sin (\frac{3 x}{2}) = 0 : x = \frac{4 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 πn}{3}

sin (\frac{3 x}{2}) = 0

Solutions générales pour

sin (\frac{3 x}{2}) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{3 x}{2} = 0 + 2 πn, \frac{3 x}{2} = π + 2 πn

\frac{3 x}{2} = 0 + 2 πn, \frac{3 x}{2} = π + 2 πn

Résoudre

\frac{3 x}{2} = 0 + 2 πn : x = \frac{4 πn}{3}

\frac{3 x}{2} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{3 x}{2} = 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{3 x}{2} = 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{2 \cdot 3 x}{2} = 2 \cdot 2 πn

Simplifier

3 x = 4 πn

3 x = 4 πn

Diviser les deux côtés par

3

3 x = 4 πn

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 x}{3} = \frac{4 πn}{3}

Simplifier

x = \frac{4 πn}{3}

x = \frac{4 πn}{3}

Résoudre

\frac{3 x}{2} = π + 2 πn : x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 πn}{3}

\frac{3 x}{2} = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{3 x}{2} = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{2 \cdot 3 x}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Simplifier

3 x = 2 π + 4 πn

3 x = 2 π + 4 πn

Diviser les deux côtés par

3

3 x = 2 π + 4 πn

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3} + \frac{4 πn}{3}

Simplifier

x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 πn}{3}

x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 πn}{3}

x = \frac{4 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 πn}{3}

sin (\frac{x}{2}) = 0 : x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn

sin (\frac{x}{2}) = 0

Solutions générales pour

sin (\frac{x}{2}) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{x}{2} = 0 + 2 πn, \frac{x}{2} = π + 2 πn

\frac{x}{2} = 0 + 2 πn, \frac{x}{2} = π + 2 πn

Résoudre

\frac{x}{2} = 0 + 2 πn : x = 4 πn

\frac{x}{2} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{x}{2} = 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{x}{2} = 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot 2 πn

Simplifier

x = 4 πn

x = 4 πn

Résoudre

\frac{x}{2} = π + 2 πn : x = 2 π + 4 πn

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Simplifier

x = 2 π + 4 πn

x = 2 π + 4 πn

x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{4 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 πn}{3}, x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

x = \frac{4 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 πn}{3}

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{4 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 πn}{3}

Graphe

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