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2cos^2(θ)-5cos(θ)+1=0

Solution

2 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) + 1 = 0

θ = 1.34977 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.34977 \dots + 2 πn

Degrés

θ = 77.33656 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 282.66343 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) + 1 = 0

Résoudre par substitution

2 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) + 1 = 0

Soit :

cos (θ) = u

2 u^{2} - 5 u + 1 = 0

2 u^{2} - 5 u + 1 = 0 : u = \frac{5 + 17}{4}, u = \frac{5 - 17}{4}

2 u^{2} - 5 u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

2 u^{2} - 5 u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 2, b = - 5, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 17

(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 5^{2} - 8

5^{2} = 25

= 25 - 8

Soustraire les nombres :

25 - 8 = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 17}{2 \cdot 2}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 17}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 17}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 5 ) + 17}{2 \cdot 2} : \frac{5 + 17}{4}

\frac{- ( - 5 ) + 17}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{5 + 17}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{5 + 17}{4}

u = \frac{- ( - 5 ) - 17}{2 \cdot 2} : \frac{5 - 17}{4}

\frac{- ( - 5 ) - 17}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{5 - 17}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{5 - 17}{4}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{5 + 17}{4}, u = \frac{5 - 17}{4}

Remplacer

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{5 + 17}{4}, cos (θ) = \frac{5 - 17}{4}

cos (θ) = \frac{5 + 17}{4}, cos (θ) = \frac{5 - 17}{4}

cos (θ) = \frac{5 + 17}{4} :

Aucune solution

cos (θ) = \frac{5 + 17}{4}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

cos (θ) = \frac{5 - 17}{4} : θ = arccos (\frac{5 - 17}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5 - 17}{4}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{5 - 17}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (θ) = \frac{5 - 17}{4}

Solutions générales pour

cos (θ) = \frac{5 - 17}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{5 - 17}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5 - 17}{4}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{5 - 17}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5 - 17}{4}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

θ = arccos (\frac{5 - 17}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5 - 17}{4}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

θ = 1.34977 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.34977 \dots + 2 πn