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Populaire Trigonométrie >

3+3sin(θ)= 6/(3-2sin(θ))

Solution

3 + 3 sin (θ) = \frac{6}{3 - 2 sin ( θ )}

Solution

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Degrés

θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

3 + 3 sin (θ) = \frac{6}{3 - 2 sin ( θ )}

Résoudre par substitution

3 + 3 sin (θ) = \frac{6}{3 - 2 sin ( θ )}

Soit :

sin (θ) = u

3 + 3 u = \frac{6}{3 - 2 u}

3 + 3 u = \frac{6}{3 - 2 u} : u = - \frac{1}{2}, u = 1

3 + 3 u = \frac{6}{3 - 2 u}

Multiplier les deux côtés par

3 - 2 u

3 + 3 u = \frac{6}{3 - 2 u}

Multiplier les deux côtés par

3 - 2 u

3 (3 - 2 u) + 3 u (3 - 2 u) = \frac{6}{3 - 2 u} (3 - 2 u)

Simplifier

3 (3 - 2 u) + 3 u (3 - 2 u) = 6

3 (3 - 2 u) + 3 u (3 - 2 u) = 6

Résoudre

3 (3 - 2 u) + 3 u (3 - 2 u) = 6 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

3 (3 - 2 u) + 3 u (3 - 2 u) = 6

Développer

3 (3 - 2 u) + 3 u (3 - 2 u) : 9 + 3 u - 6 u^{2}

3 (3 - 2 u) + 3 u (3 - 2 u)

Développer

3 (3 - 2 u) : 9 - 6 u

3 (3 - 2 u)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 3, c = 2 u

= 3 \cdot 3 - 3 \cdot 2 u

Simplifier

3 \cdot 3 - 3 \cdot 2 u : 9 - 6 u

3 \cdot 3 - 3 \cdot 2 u

Multiplier les nombres :

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 3 \cdot 2 u

Multiplier les nombres :

3 \cdot 2 = 6

= 9 - 6 u

= 9 - 6 u

= 9 - 6 u + 3 u (3 - 2 u)

Développer

3 u (3 - 2 u) : 9 u - 6 u^{2}

3 u (3 - 2 u)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 3 u, b = 3, c = 2 u

= 3 u \cdot 3 - 3 u \cdot 2 u

= 3 \cdot 3 u - 3 \cdot 2 uu

Simplifier

3 \cdot 3 u - 3 \cdot 2 uu : 9 u - 6 u^{2}

3 \cdot 3 u - 3 \cdot 2 uu

3 \cdot 3 u = 9 u

3 \cdot 3 u

Multiplier les nombres :

3 \cdot 3 = 9

= 9 u

3 \cdot 2 uu = 6 u^{2}

3 \cdot 2 uu

Multiplier les nombres :

3 \cdot 2 = 6

= 6 uu

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 6 u^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 6 u^{2}

= 9 u - 6 u^{2}

= 9 u - 6 u^{2}

= 9 - 6 u + 9 u - 6 u^{2}

Additionner les éléments similaires :

- 6 u + 9 u = 3 u

= 9 + 3 u - 6 u^{2}

9 + 3 u - 6 u^{2} = 6

Déplacer

6

vers la gauche

9 + 3 u - 6 u^{2} = 6

Soustraire

6

des deux côtés

9 + 3 u - 6 u^{2} - 6 = 6 - 6

Simplifier

- 6 u^{2} + 3 u + 3 = 0

- 6 u^{2} + 3 u + 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 6 u^{2} + 3 u + 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 6, b = 3, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 3}{2 ( - 6 )}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 3}{2 ( - 6 )}

3^{2} - 4 (- 6) \cdot 3 = 9

3^{2} - 4 (- 6) \cdot 3

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 6 \cdot 3 = 72

= 3^{2} + 72

3^{2} = 9

= 9 + 72

Additionner les nombres :

9 + 72 = 81

= 81

Factoriser le nombre :

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 9}{2 ( - 6 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 3 + 9}{2 ( - 6 )}, u_{2} = \frac{- 3 - 9}{2 ( - 6 )}

u = \frac{- 3 + 9}{2 ( - 6 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 9}{2 ( - 6 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 3 + 9}{- 2 \cdot 6}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 3 + 9 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 6}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6}{- 12}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{12}

Annuler le facteur commun :

6

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 9}{2 ( - 6 )} : 1

\frac{- 3 - 9}{2 ( - 6 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 3 - 9}{- 2 \cdot 6}

Soustraire les nombres :

- 3 - 9 = - 12

= \frac{- 12}{- 2 \cdot 6}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 12}{- 12}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12}{12}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{1}{2}, u = 1

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = \frac{3}{2}

Prendre le(s) dénominateur(s) de

\frac{6}{3 - 2 u}

et le comparer à zéro

Résoudre

3 - 2 u = 0 : u = \frac{3}{2}

3 - 2 u = 0

Déplacer

3

vers la droite

3 - 2 u = 0

Soustraire

3

des deux côtés

3 - 2 u - 3 = 0 - 3

Simplifier

- 2 u = - 3

- 2 u = - 3

Diviser les deux côtés par

- 2

- 2 u = - 3

Diviser les deux côtés par

- 2

\frac{- 2 u}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}

Simplifier

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Les points suivants ne sont pas définis

u = \frac{3}{2}

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Remplacer

u = sin (θ)

sin (θ) = - \frac{1}{2}, sin (θ) = 1

sin (θ) = - \frac{1}{2}, sin (θ) = 1

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Solutions générales pour

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 1

Solutions générales pour

sin (θ) = 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires