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beweisen sin(x-pi/2)=-cos(x)

Lösung

beweisen

sin (x - \frac{π}{2}) = - cos (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (x - \frac{π}{2}) = - cos (x)

Manipuliere die linke Seite

sin (x - \frac{π}{2})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x - \frac{π}{2})

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= sin (x) cos (\frac{π}{2}) - cos (x) sin (\frac{π}{2})

Vereinfache

sin (x) cos (\frac{π}{2}) - cos (x) sin (\frac{π}{2}) : - cos (x)

sin (x) cos (\frac{π}{2}) - cos (x) sin (\frac{π}{2})

sin (x) cos (\frac{π}{2}) = 0

sin (x) cos (\frac{π}{2})

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (x)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

cos (x) sin (\frac{π}{2}) = cos (x)

cos (x) sin (\frac{π}{2})

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot cos (x)

Multipliziere:

cos (x) \cdot 1 = cos (x)

= cos (x)

= 0 - cos (x)

0 - cos (x) = - cos (x)

= - cos (x)

= - cos (x)

= - cos (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos^{2} (y) - sin^{2} (y) = 1 - 2 sin^{2} (y)

p ro v e cos^{4} (x) - sin^{4} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

p ro v e sin (x + y) - sin (x - y) = 2 cos (x) sin (y)

p ro v e csc^{2} (θ) tan^{2} (θ) - 1 = tan^{2} (θ)

p ro v e (1 - sin^{2} (x)) csc (x) = cos (x) cot (x)