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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sin(3θ)=3sin(θ)-4sin^3(θ)

Lösung

beweisen

sin (3 θ) = 3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (3 θ) = 3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ)

Manipuliere die linke Seite

sin (3 θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (3 θ)

Schreibe um

= sin (2 θ + θ)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 θ) cos (θ) + cos (2 θ) sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 θ) = 2 sin (θ) cos (θ)

= cos (2 θ) sin (θ) + cos (θ) 2 sin (θ) cos (θ)

Vereinfache

cos (2 θ) sin (θ) + cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ) : sin (θ) cos (2 θ) + 2 cos^{2} (θ) sin (θ)

cos (2 θ) sin (θ) + cos (θ) 2 sin (θ) cos (θ)

cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ) = 2 cos^{2} (θ) sin (θ)

cos (θ) 2 sin (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= 2 sin (θ) cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 sin (θ) cos^{2} (θ)

= sin (θ) cos (2 θ) + 2 cos^{2} (θ) sin (θ)

= sin (θ) cos (2 θ) + 2 cos^{2} (θ) sin (θ)

= sin (θ) cos (2 θ) + 2 cos^{2} (θ) sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

= (1 - 2 sin^{2} (θ)) sin (θ) + 2 cos^{2} (θ) sin (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 1

cos^{2} (θ) = 1 - sin^{2} (θ)

= (1 - 2 sin^{2} (θ)) sin (θ) + 2 (1 - sin^{2} (θ)) sin (θ)

Multipliziere aus

(1 - 2 sin^{2} (θ)) sin (θ) + 2 (1 - sin^{2} (θ)) sin (θ) : - 4 sin^{3} (θ) + 3 sin (θ)

(1 - 2 sin^{2} (θ)) sin (θ) + 2 (1 - sin^{2} (θ)) sin (θ)

= sin (θ) (1 - 2 sin^{2} (θ)) + 2 sin (θ) (1 - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

sin (θ) (1 - 2 sin^{2} (θ)) : sin (θ) - 2 sin^{3} (θ)

sin (θ) (1 - 2 sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (θ), b = 1, c = 2 sin^{2} (θ)

= sin (θ) 1 - sin (θ) 2 sin^{2} (θ)

= 1 sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) sin (θ)

Vereinfache

1 \cdot sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) sin (θ) : sin (θ) - 2 sin^{3} (θ)

1 sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) sin (θ)

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

1 sin (θ)

Multipliziere:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= sin (θ)

2 sin^{2} (θ) sin (θ) = 2 sin^{3} (θ)

2 sin^{2} (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (θ) sin (θ) = sin^{2 + 1} (θ)

= 2 sin^{2 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (θ)

= sin (θ) - 2 sin^{3} (θ)

= sin (θ) - 2 sin^{3} (θ)

= sin (θ) - 2 sin^{3} (θ) + 2 (1 - sin^{2} (θ)) sin (θ)

Multipliziere aus

2 sin (θ) (1 - sin^{2} (θ)) : 2 sin (θ) - 2 sin^{3} (θ)

2 sin (θ) (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 sin (θ), b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 2 sin (θ) 1 - 2 sin (θ) sin^{2} (θ)

= 2 \cdot 1 sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) sin (θ)

Vereinfache

2 \cdot 1 \cdot sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) sin (θ) : 2 sin (θ) - 2 sin^{3} (θ)

2 \cdot 1 sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) sin (θ)

2 \cdot 1 \cdot sin (θ) = 2 sin (θ)

2 \cdot 1 sin (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (θ)

2 sin^{2} (θ) sin (θ) = 2 sin^{3} (θ)

2 sin^{2} (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (θ) sin (θ) = sin^{2 + 1} (θ)

= 2 sin^{2 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (θ)

= 2 sin (θ) - 2 sin^{3} (θ)

= 2 sin (θ) - 2 sin^{3} (θ)

= sin (θ) - 2 sin^{3} (θ) + 2 sin (θ) - 2 sin^{3} (θ)

Vereinfache

sin (θ) - 2 sin^{3} (θ) + 2 sin (θ) - 2 sin^{3} (θ) : - 4 sin^{3} (θ) + 3 sin (θ)

sin (θ) - 2 sin^{3} (θ) + 2 sin (θ) - 2 sin^{3} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin^{3} (θ) - 2 sin^{3} (θ) + sin (θ) + 2 sin (θ)

Addiere gleiche Elemente:

- 2 sin^{3} (θ) - 2 sin^{3} (θ) = - 4 sin^{3} (θ)

= - 4 sin^{3} (θ) + sin (θ) + 2 sin (θ)

Addiere gleiche Elemente:

sin (θ) + 2 sin (θ) = 3 sin (θ)

= - 4 sin^{3} (θ) + 3 sin (θ)

= - 4 sin^{3} (θ) + 3 sin (θ)

= - 4 sin^{3} (θ) + 3 sin (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin^4(t)-cos^4(t)=1-2cos^2(t)

p ro v e sin^{4} (t) - cos^{4} (t) = 1 - 2 cos^{2} (t)

beweisen (1-cos^2(x))(1+cot^2(x))=1

p ro v e (1 - cos^{2} (x)) (1 + cot^{2} (x)) = 1

beweisen (1-cos(-x))/(sec(-x)-1)=cos(x)

p ro v e \frac{1 - cos ( - x )}{sec ( - x ) - 1} = cos (x)

beweisen cos(3θ)=4cos^3(θ)-3cos(θ)

p ro v e cos (3 θ) = 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

beweisen (sin(x)-cos(x))^2=1-sin(2x)

p ro v e (sin (x) - cos (x))^{2} = 1 - sin (2 x)