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provar (cos(2X))/(sin(X))+(sin(2X))/(cos(X))=csc(X)

Solução

provar

\frac{cos ( 2 X )}{sin ( X )} + \frac{sin ( 2 X )}{cos ( X )} = csc (X)

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{cos ( 2 X )}{sin ( X )} + \frac{sin ( 2 X )}{cos ( X )} = csc (X)

Manipular o lado direito

\frac{cos ( 2 X )}{sin ( X )} + \frac{sin ( 2 X )}{cos ( X )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{cos ( 2 X )}{sin ( X )} + \frac{sin ( 2 X )}{cos ( X )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{cos ( 2 X )}{sin ( X )} + \frac{2 sin ( X ) cos ( X )}{cos ( X )}

Cancelar

\frac{2 sin ( X ) cos ( X )}{cos ( X )} : 2 sin (X)

\frac{2 sin ( X ) cos ( X )}{cos ( X )}

Eliminar o fator comum:

cos (X)

= 2 sin (X)

= \frac{cos ( 2 X )}{sin ( X )} + 2 sin (X)

= \frac{cos ( 2 X )}{sin ( X )} + 2 sin (X)

Manipular o lado esquerdo

csc (X)

Expresar com seno, cosseno

csc (X)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( X )}

= \frac{1}{sin ( X )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{1}{sin ( X )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

1 = cos (2 x) + 2 sin^{2} (x)

= \frac{cos ( 2 X ) + 2 sin ^{2} ( X )}{sin ( X )}

= \frac{cos ( 2 X ) + 2 sin ^{2} ( X )}{sin ( X )}

Expandir

\frac{cos ( 2 X ) + 2 sin ^{2} ( X )}{sin ( X )} : \frac{cos ( 2 X )}{sin ( X )} + 2 sin (X)

\frac{cos ( 2 X ) + 2 sin ^{2} ( X )}{sin ( X )}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{cos ( 2 X ) + 2 sin ^{2} ( X )}{sin ( X )} = \frac{cos ( 2 X )}{sin ( X )} + \frac{2 sin ^{2} ( X )}{sin ( X )}

= \frac{cos ( 2 X )}{sin ( X )} + \frac{2 sin ^{2} ( X )}{sin ( X )}

Cancelar

\frac{2 sin ^{2} ( X )}{sin ( X )} : 2 sin (X)

\frac{2 sin ^{2} ( X )}{sin ( X )}

Eliminar o fator comum:

sin (X)

= 2 sin (X)

= \frac{cos ( 2 X )}{sin ( X )} + 2 sin (X)

= \frac{cos ( 2 X )}{sin ( X )} + 2 sin (X)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e tan^{5} (x) = tan^{3} (x) sec^{2} (x) - tan^{3} (x)

p ro v e \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} = sec (θ) + tan (θ)

p ro v e tan (x) + cot (x) = 2 csc (2 x)

p ro v e sin (\frac{π}{2} - x) = cos (x)

p ro v e tan (2 x) = \frac{( 2 tan ( x ) )}{( 1 - tan ^{2} ( x ) )}