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Popular Trigonometría >

verificar 1/2 (cot(x)+tan(x))=csc(2x)

Solución

verificar

\frac{1}{2} (cot (x) + tan (x)) = csc (2 x)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

\frac{1}{2} (cot (x) + tan (x)) = csc (2 x)

Manipular el lado derecho

\frac{1}{2} (cot (x) + tan (x))

Expresar con seno, coseno

(cot (x) + tan (x)) \frac{1}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + tan (x)) \frac{1}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) \frac{1}{2}

Simplificar

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) \frac{1}{2} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} )}{2}

1 \cdot (\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

1 \cdot (\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

Multiplicar:

1 \cdot (\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) = (\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

Quitar los parentesis:

(a) = a

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{2}

Simplificar

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

en una fracción:

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Mínimo común múltiplo de

sin (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

sin (x)

cos (x)

= sin (x) cos (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Para

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{s i n ( x ) c o s ( x )}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x ) \cdot 2}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( 2 x )}

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ( 2 x )}

= \frac{1}{sin ( 2 x )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( 2 x )}}

Simplificar

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( 2 x )}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( 2 x )}{1}

Aplicar la regla

\frac{a}{1} = a

= csc (2 x)

csc (2 x)

csc (2 x)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar tan(-x)cos(x)=-sin(x)

verificar tan(2pi-x)=-tan(x)

verificar sec(2x)=(sec^2(x))/(2-sec^2(x))

verificar tan(a)+cot(a)=sec(a)csc(a)

verificar (1-sin(x))(1+sin(x))=cos^2(x)