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provar (1-cos^2(θ))(1+cot^2(θ))=1

Solução

provar

(1 - cos^{2} (θ)) (1 + cot^{2} (θ)) = 1

Verdadeiro

Passos da solução

(1 - cos^{2} (θ)) (1 + cot^{2} (θ)) = 1

Manipular o lado direito

(1 - cos^{2} (θ)) (1 + cot^{2} (θ))

Expresar com seno, cosseno

(1 + cot^{2} (θ)) (1 - cos^{2} (θ))

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) (1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

(1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) (1 - cos^{2} (θ)) : \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

(1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) (1 - cos^{2} (θ))

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= (\frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + 1) (- cos^{2} (θ) + 1)

Simplificar

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

em uma fração:

\frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Multiplicar:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} (- cos^{2} (θ) + 1)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{1 - cos ^{2} ( θ )}

\frac{( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{1 - cos ^{2} ( θ )} = 1

\frac{( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) ( cos ^{2} ( θ ) + 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{1 - cos ^{2} ( θ )}

(1 - cos^{2} (θ)) (cos^{2} (θ) + 1 - cos^{2} (θ)) = 1 - cos^{2} (θ)

(1 - cos^{2} (θ)) (cos^{2} (θ) + 1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

cos^{2} (θ) + 1 - cos^{2} (θ) : 1

cos^{2} (θ) + 1 - cos^{2} (θ)

Agrupar termos semelhantes

= cos^{2} (θ) - cos^{2} (θ) + 1

Somar elementos similares:

cos^{2} (θ) - cos^{2} (θ) = 0

= 1

= 1 \cdot (- cos^{2} (θ) + 1)

Multiplicar:

(1 - cos^{2} (θ)) \cdot 1 = (1 - cos^{2} (θ))

= (1 - cos^{2} (θ))

Remover os parênteses:

(a) = a

= 1 - cos^{2} (θ)

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ^{2} ( θ )}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

= 1

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e cot (x) sin (x) = cos (x)

p ro v e sin (2 x) + cos (2 x) - 1 = 2 sin (x) (cos (x) - sin (x))

p ro v e (csc^{2} (x) - 1) sin (x) = cot (x) cos (x)

p ro v e cot (x) (1 - cos^{2} (x)) = \frac{1}{2} sin (2 x)

p ro v e \frac{sec ^{2} ( t )}{tan ( t )} = sec (t) csc (t)