English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

provar csc^4(x)-cot^4(x)=2cot^2(x)+1

Solução

provar

csc^{4} (x) - cot^{4} (x) = 2 cot^{2} (x) + 1

Verdadeiro

Passos da solução

csc^{4} (x) - cot^{4} (x) = 2 cot^{2} (x) + 1

Manipular o lado direito

csc^{4} (x) - cot^{4} (x)

Fatorar

- cot^{4} (x) + csc^{4} (x) : (csc^{2} (x) + cot^{2} (x)) (csc (x) + cot (x)) (csc (x) - cot (x))

- cot^{4} (x) + csc^{4} (x)

Reescrever

csc^{4} (x) - cot^{4} (x)

como

(csc^{2} (x))^{2} - (cot^{2} (x))^{2}

csc^{4} (x) - cot^{4} (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cot^{4} (x) = (cot^{2} (x))^{2}

= csc^{4} (x) - (cot^{2} (x))^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

csc^{4} (x) = (csc^{2} (x))^{2}

= (csc^{2} (x))^{2} - (cot^{2} (x))^{2}

= (csc^{2} (x))^{2} - (cot^{2} (x))^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(csc^{2} (x))^{2} - (cot^{2} (x))^{2} = (csc^{2} (x) + cot^{2} (x)) (csc^{2} (x) - cot^{2} (x))

= (csc^{2} (x) + cot^{2} (x)) (csc^{2} (x) - cot^{2} (x))

Fatorar

csc^{2} (x) - cot^{2} (x) : (csc (x) + cot (x)) (csc (x) - cot (x))

csc^{2} (x) - cot^{2} (x)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

csc^{2} (x) - cot^{2} (x) = (csc (x) + cot (x)) (csc (x) - cot (x))

= (csc (x) + cot (x)) (csc (x) - cot (x))

= (csc^{2} (x) + cot^{2} (x)) (csc (x) + cot (x)) (csc (x) - cot (x))

= (- cot (x) + csc (x)) (cot (x) + csc (x)) (cot^{2} (x) + csc^{2} (x))

Reeecreva usando identidades trigonométricas

(- cot (x) + csc (x)) (cot (x) + csc (x)) (cot^{2} (x) + csc^{2} (x))

Expandir

(csc (x) + cot (x)) (csc (x) - cot (x)) : csc^{2} (x) - cot^{2} (x)

(csc (x) + cot (x)) (csc (x) - cot (x))

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = csc (x), b = cot (x)

= csc^{2} (x) - cot^{2} (x)

= (csc^{2} (x) - cot^{2} (x)) (cot^{2} (x) + csc^{2} (x))

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

csc^{2} (x) = 1 + cot^{2} (x)

csc^{2} (x) - cot^{2} (x) = 1

= 1 \cdot (cot^{2} (x) + csc^{2} (x))

Simplificar

= cot^{2} (x) + csc^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

csc^{2} (x) = 1 + cot^{2} (x)

= cot^{2} (x) + 1 + cot^{2} (x)

Simplificar

cot^{2} (x) + 1 + cot^{2} (x) : 2 cot^{2} (x) + 1

cot^{2} (x) + 1 + cot^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= cot^{2} (x) + cot^{2} (x) + 1

Somar elementos similares:

cot^{2} (x) + cot^{2} (x) = 2 cot^{2} (x)

= 2 cot^{2} (x) + 1

= 2 cot^{2} (x) + 1

= 2 cot^{2} (x) + 1

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e cos (- x) - sin (- x) = cos (x) + sin (x)

p ro v e cos (θ) sec (θ) = 1

p ro v e cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos (a) cos (b)

p ro v e csc^{2} (x) - cos^{2} (x) csc^{2} (x) = 1

p ro v e tan (\frac{π}{2} - u) = cot (u)