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Popular Trigonometria >

provar (1+tan(x))/(1-tan(x))+(1+cot(x))/(1-cot(x))=0

Solução

provar

\frac{1 + tan ( x )}{1 - tan ( x )} + \frac{1 + cot ( x )}{1 - cot ( x )} = 0

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{1 + tan ( x )}{1 - tan ( x )} + \frac{1 + cot ( x )}{1 - cot ( x )} = 0

Manipular o lado direito

\frac{1 + tan ( x )}{1 - tan ( x )} + \frac{1 + cot ( x )}{1 - cot ( x )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{1 + cot ( x )}{1 - cot ( x )} + \frac{1 + tan ( x )}{1 - tan ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 - \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}} + \frac{1 + tan ( x )}{1 - tan ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 - \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}} + \frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

\frac{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 - \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}} + \frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} = 0

\frac{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 - \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}} + \frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

\frac{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 - \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}} = \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x ) - cos ( x )}

\frac{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 - \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Simplificar

1 - \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

em uma fração:

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{sin ( x )}

1 - \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) - cos ( x )}{sin ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{s i n ( x ) - c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Simplificar

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

em uma fração:

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( x ) + c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{s i n ( x ) - c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( sin ( x ) + cos ( x ) ) sin ( x )}{sin ( x ) ( sin ( x ) - cos ( x ) )}

Eliminar o fator comum:

sin (x)

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x ) - cos ( x )}

\frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} = \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

\frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Simplificar

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

em uma fração:

\frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x ) - s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Simplificar

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

em uma fração:

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x ) - s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) cos ( x )}{cos ( x ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Eliminar o fator comum:

cos (x)

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x ) - cos ( x )} + \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

sin (x) - cos (x), cos (x) - sin (x) : - (sin (x) - cos (x))

sin (x) - cos (x), cos (x) - sin (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

cos (x) - sin (x) = - (sin (x) - cos (x))

= sin (x) - cos (x), - (sin (x) - cos (x))

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

sin (x) - cos (x)

quanto em

cos (x) - sin (x)

= - (sin (x) - cos (x))

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x ) - cos ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

- 1

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x ) - cos ( x )} = \frac{( sin ( x ) + cos ( x ) ) ( - 1 )}{( sin ( x ) - cos ( x ) ) ( - 1 )} = \frac{- ( sin ( x ) + cos ( x ) )}{- ( sin ( x ) - cos ( x ) )}

= \frac{- ( sin ( x ) + cos ( x ) )}{- ( sin ( x ) - cos ( x ) )} + \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{- ( sin ( x ) - cos ( x ) )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( sin ( x ) + cos ( x ) ) + cos ( x ) + sin ( x )}{- ( sin ( x ) - cos ( x ) )}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- ( sin ( x ) + cos ( x ) ) + cos ( x ) + sin ( x )}{( sin ( x ) - cos ( x ) )}

Cancelar

\frac{- ( sin ( x ) + cos ( x ) ) + cos ( x ) + sin ( x )}{( sin ( x ) - cos ( x ) )} : 0

\frac{- ( sin ( x ) + cos ( x ) ) + cos ( x ) + sin ( x )}{( sin ( x ) - cos ( x ) )}

Fatorar

- (sin (x) + cos (x)) + cos (x) + sin (x) : 0

- (sin (x) + cos (x)) + cos (x) + sin (x)

Reescrever como

= - 1 \cdot (cos (x) + sin (x)) + 1 \cdot (cos (x) + sin (x))

Fatorar o termo comum

(cos (x) + sin (x))

= (cos (x) + sin (x)) (- 1 + 1)

Simplificar

= 0

= \frac{0}{( sin ( x ) - cos ( x ) )}

Simplificar

= 0

= - 0

= 0

= 0

= 0

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar cos(4x)=1-8sin^2(x)cos^2(x)

p ro v e cos (4 x) = 1 - 8 sin^{2} (x) cos^{2} (x)

provar (sin(x))/(1-cos(-x))=csc(x)+cot(x)

p ro v e \frac{sin ( x )}{1 - cos ( - x )} = csc (x) + cot (x)

provar tan(x)-tan(y)=(sin(x-y))/(cos(x)cos(y))

p ro v e tan (x) - tan (y) = \frac{sin ( x - y )}{cos ( x ) cos ( y )}

provar 1+cos(2x)+2sin^2(x)=2

p ro v e 1 + cos (2 x) + 2 sin^{2} (x) = 2

provar 1/(tan(x)+cot(x))=sin(x)cos(x)

p ro v e \frac{1}{tan ( x ) + cot ( x )} = sin (x) cos (x)