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provar (2cot(x))/(csc^2(x))=sin(2x)

Solução

provar

\frac{2 cot ( x )}{csc ^{2} ( x )} = sin (2 x)

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{2 cot ( x )}{csc ^{2} ( x )} = sin (2 x)

Manipular o lado direito

\frac{2 cot ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{2 cot ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{csc ^{2} ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Simplificar

\frac{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}} : 2 cos (x) sin (x)

\frac{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}

Multiplicar

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{2 cos ( x )}{sin ( x )}

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 2}{sin ( x )}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) \cdot 1}

Simplificar

= \frac{cos ( x ) \cdot 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Eliminar o fator comum:

sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

2 cos (x) sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= sin (2 x)

= sin (2 x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e cos^{4} (x) - sin^{4} (x) = 2 cos^{2} (x) - 1

p ro v e tan (x) (cot (x) + tan (x)) = sec^{2} (x)

p ro v e \frac{1 + sin ( 2 x )}{sin ( 2 x )} = 1 + \frac{1}{2} sec (x) csc (x)

p ro v e \frac{1}{csc ( x ) + 1} + \frac{1}{sin ( x ) + 1} = 1

p ro v e cos (2 u) = cos^{2} (u) - sin^{2} (u)