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beweisen cot^2(θ)csc^2(θ)-cot^2(θ)=cot^4(θ)

Lösung

beweisen

cot^{2} (θ) csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = cot^{4} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

cot^{2} (θ) csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = cot^{4} (θ)

Manipuliere die linke Seite

cot^{2} (θ) csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cot^{2} (θ) csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

csc^{2} (x) = 1 + cot^{2} (x)

= cot^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ)) - cot^{2} (θ)

Vereinfache

cot^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ)) - cot^{2} (θ) : cot^{4} (θ)

cot^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ)) - cot^{2} (θ)

Multipliziere aus

cot^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ)) : cot^{2} (θ) + cot^{4} (θ)

cot^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = cot^{2} (θ), b = 1, c = cot^{2} (θ)

= cot^{2} (θ) \cdot 1 + cot^{2} (θ) cot^{2} (θ)

= 1 \cdot cot^{2} (θ) + cot^{2} (θ) cot^{2} (θ)

Vereinfache

1 \cdot cot^{2} (θ) + cot^{2} (θ) cot^{2} (θ) : cot^{2} (θ) + cot^{4} (θ)

1 \cdot cot^{2} (θ) + cot^{2} (θ) cot^{2} (θ)

1 \cdot cot^{2} (θ) = cot^{2} (θ)

1 \cdot cot^{2} (θ)

Multipliziere:

1 \cdot cot^{2} (θ) = cot^{2} (θ)

= cot^{2} (θ)

cot^{2} (θ) cot^{2} (θ) = cot^{4} (θ)

cot^{2} (θ) cot^{2} (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cot^{2} (θ) cot^{2} (θ) = cot^{2 + 2} (θ)

= cot^{2 + 2} (θ)

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= cot^{4} (θ)

= cot^{2} (θ) + cot^{4} (θ)

= cot^{2} (θ) + cot^{4} (θ)

= cot^{2} (θ) + cot^{4} (θ) - cot^{2} (θ)

Addiere gleiche Elemente:

cot^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = 0

= cot^{4} (θ)

= cot^{4} (θ)

= cot^{4} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (x - π) = - sin (x)

p ro v e cos (x - \frac{π}{3}) + sin (\frac{π}{6} - x) = cos (x)

p ro v e coth^{2} (x) - 1 = csch^{2} (x)

p ro v e \frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 1 - tan^{2} (x)

p ro v e cot (\frac{π}{2} - x) = tan (x)