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Populaire Trigonométrie >

prouver (1-tan(x))/(1+tan(x))=(1-sin(2x))/(cos(2x))

Solution

prouver

\frac{1 - tan ( x )}{1 + tan ( x )} = \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Solution

vrai

étapes des solutions

\frac{1 - tan ( x )}{1 + tan ( x )} = \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

En manipulant le côté gauche

\frac{1 - tan ( x )}{1 + tan ( x )}

Exprimer avec sinus, cosinus

\frac{1 - tan ( x )}{1 + tan ( x )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Simplifier

\frac{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

\frac{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Relier

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Relier

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x ) - s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Diviser des fractions:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( x )}{cos ( x ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}

Annuler le facteur commun :

cos (x)

= \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

Multiplier par

\frac{cos ( 2 x ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{cos ( 2 x ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

= \frac{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Développer

(cos (x) - sin (x)) (cos (x) - sin (x)) cos (2 x) : cos^{2} (x) cos (2 x) - 2 cos (2 x) cos (x) sin (x) + sin^{2} (x) cos (2 x)

(cos (x) - sin (x)) (cos (x) - sin (x)) cos (2 x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

(cos (x) - sin (x)) (cos (x) - sin (x)) = (cos (x) - sin (x))^{1 + 1}

= (cos (x) - sin (x))^{1 + 1} cos (2 x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= (cos (x) - sin (x))^{2} cos (2 x)

(cos (x) - sin (x))^{2} = cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

(cos (x) - sin (x))^{2}

Appliquer la formule du carré parfait:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

= cos (2 x) (cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x))

= cos (2 x) (cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x))

Distribuer des parenthèses

= cos (2 x) cos^{2} (x) + cos (2 x) (- 2 cos (x) sin (x)) + cos (2 x) sin^{2} (x)

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= cos^{2} (x) cos (2 x) - 2 cos (2 x) cos (x) sin (x) + sin^{2} (x) cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) sin ^{2} ( x ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) sin ^{2} ( x ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Simplifier

\frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )} : \frac{1 - 2 cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

\frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Factoriser

cos (2 x) cos^{2} (x) + cos (2 x) (1 - cos^{2} (x)) - 2 cos (2 x) cos (x) sin (x) : cos (2 x) (1 - 2 cos (x) sin (x))

cos (2 x) cos^{2} (x) + cos (2 x) (1 - cos^{2} (x)) - 2 cos (2 x) cos (x) sin (x)

Factoriser le terme commun

cos (2 x)

= cos (2 x) (cos^{2} (x) - cos^{2} (x) + 1 - 2 cos (x) sin (x))

Redéfinir

= cos (2 x) (- 2 cos (x) sin (x) + 1)

= \frac{cos ( 2 x ) ( 1 - 2 cos ( x ) sin ( x ) )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Annuler le facteur commun :

cos (2 x)

= \frac{1 - 2 cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

= \frac{1 - 2 cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Utiliser l'identité d'angle double:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Développer

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) : cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Utiliser l'identité d'angle double:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver csch^2(x)=coth^2(x)-1

p ro v e csch^{2} (x) = coth^{2} (x) - 1

prouver (tan(y))/(csc(y))= 1/(cos(y))-1/(sec(y))

p ro v e \frac{tan ( y )}{csc ( y )} = \frac{1}{cos ( y )} - \frac{1}{sec ( y )}

prouver 2tan(x)sec(x)= 1/(1-sin(x))-1/(1+sin(x))

p ro v e 2 tan (x) sec (x) = \frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )}

prouver 1/(sin(x)cot(x))= 1/(cos(x))

p ro v e \frac{1}{sin ( x ) cot ( x )} = \frac{1}{cos ( x )}

prouver (csc^2(x)-1)/(csc^2(x))=cos^2(x)

p ro v e \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )} = cos^{2} (x)