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Populaire Trigonométrie >

prouver (cos(x))/(csc(x)+1)+(cos(x))/(csc(x)-1)=2tan(x)

Solution

prouver

\frac{cos ( x )}{csc ( x ) + 1} + \frac{cos ( x )}{csc ( x ) - 1} = 2 tan (x)

Solution

vrai

étapes des solutions

\frac{cos ( x )}{csc ( x ) + 1} + \frac{cos ( x )}{csc ( x ) - 1} = 2 tan (x)

En manipulant le côté gauche

\frac{cos ( x )}{csc ( x ) + 1} + \frac{cos ( x )}{csc ( x ) - 1}

Exprimer avec sinus, cosinus

\frac{cos ( x )}{- 1 + csc ( x )} + \frac{cos ( x )}{1 + csc ( x )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{cos ( x )}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Simplifier

\frac{cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{cos ( x )}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}} : \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{cos ( x )}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

\frac{cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} = \frac{cos ( x ) sin ( x )}{- sin ( x ) + 1}

\frac{cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Relier

- 1 + \frac{1}{sin ( x )} : \frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

- 1 + \frac{1}{sin ( x )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Multiplier:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{\frac{- s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ( x ) sin ( x )}{- sin ( x ) + 1}

\frac{cos ( x )}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}} = \frac{cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

\frac{cos ( x )}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Relier

1 + \frac{1}{sin ( x )} : \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

1 + \frac{1}{sin ( x )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Multiplier:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{\frac{s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

= \frac{cos ( x ) sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} + \frac{cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

Plus petit commun multiple de

- sin (x) + 1, sin (x) + 1 : (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

- sin (x) + 1, sin (x) + 1

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

- sin (x) + 1

ou dans

sin (x) + 1

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

(sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Pour

\frac{cos ( x ) sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (x) + 1

\frac{cos ( x ) sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} = \frac{cos ( x ) sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

Pour

\frac{cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x ) + 1} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

- sin (x) + 1

\frac{cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x ) + 1} = \frac{cos ( x ) sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{cos ( x ) sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )} + \frac{cos ( x ) sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 ) + cos ( x ) sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Développer

cos (x) sin (x) (sin (x) + 1) + cos (x) sin (x) (- sin (x) + 1) : 2 cos (x) sin (x)

cos (x) sin (x) (sin (x) + 1) + cos (x) sin (x) (- sin (x) + 1)

Développer

cos (x) sin (x) (sin (x) + 1) : sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

cos (x) sin (x) (sin (x) + 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (x) sin (x), b = sin (x), c = 1

= cos (x) sin (x) sin (x) + cos (x) sin (x) \cdot 1

= cos (x) sin (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x) sin (x)

Simplifier

cos (x) sin (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x) sin (x) : sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

cos (x) sin (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x) sin (x)

cos (x) sin (x) sin (x) = sin^{2} (x) cos (x)

cos (x) sin (x) sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= cos (x) sin^{2} (x)

1 \cdot cos (x) sin (x) = cos (x) sin (x)

1 \cdot cos (x) sin (x)

Multiplier:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x) sin (x)

= sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

= sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

= sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + cos (x) sin (x) (- sin (x) + 1)

Développer

cos (x) sin (x) (- sin (x) + 1) : - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

cos (x) sin (x) (- sin (x) + 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (x) sin (x), b = - sin (x), c = 1

= cos (x) sin (x) (- sin (x)) + cos (x) sin (x) \cdot 1

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= - cos (x) sin (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x) sin (x)

Simplifier

- cos (x) sin (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x) sin (x) : - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

- cos (x) sin (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x) sin (x)

cos (x) sin (x) sin (x) = sin^{2} (x) cos (x)

cos (x) sin (x) sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= cos (x) sin^{2} (x)

1 \cdot cos (x) sin (x) = cos (x) sin (x)

1 \cdot cos (x) sin (x)

Multiplier:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x) sin (x)

= - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

= - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

= sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

Simplifier

sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x) : 2 cos (x) sin (x)

sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

Additionner les éléments similaires :

sin^{2} (x) cos (x) - sin^{2} (x) cos (x) = 0

= cos (x) sin (x) + cos (x) sin (x)

Additionner les éléments similaires :

cos (x) sin (x) + cos (x) sin (x) = 2 cos (x) sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

= \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Développer

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Utiliser l'identité hyperbolique:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Annuler le facteur commun :

cos (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

= 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

2 tan (x)

2 tan (x)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver (cos(x)csc(x))/(cot^2(x))=tan(x)

p ro v e \frac{cos ( x ) csc ( x )}{cot ^{2} ( x )} = tan (x)

prouver cot(pi/2-u)=tan(u)

p ro v e cot (\frac{π}{2} - u) = tan (u)

prouver (sec^4(x)-1)/(tan^2(x))=tan^2(x)+2

p ro v e \frac{sec ^{4} ( x ) - 1}{tan ^{2} ( x )} = tan^{2} (x) + 2

prouver tan^2(x)-sec^2(x)=-1

p ro v e tan^{2} (x) - sec^{2} (x) = - 1

prouver cos(-θ)=cos(θ)

p ro v e cos (- θ) = cos (θ)