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beweisen 1/(csc(x)-sin(x))=tan(x)sec(x)

Lösung

beweisen

\frac{1}{csc ( x ) - sin ( x )} = tan (x) sec (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{csc ( x ) - sin ( x )} = tan (x) sec (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1}{csc ( x ) - sin ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{csc ( x ) - sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{s i n ( x )} - sin ( x )}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s i n ( x )} - sin ( x )} : \frac{sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s i n ( x )} - sin ( x )}

Füge

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

zusammen:

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

1 - sin (x) sin (x) = 1 - sin^{2} (x)

1 - sin (x) sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{\frac{1 - s i n ^{2} ( x )}{s i n ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

tan (x) sec (x)

Drücke mit sin, cos aus

sec (x) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (3 x) = (sin (x)) (3 - 4 sin^{2} (x))

p ro v e cos (3 a) = 4 cos^{3} (a) - 3 cos (a)

p ro v e 2 cos (x) sin (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

p ro v e \frac{tan ( 2 x ) + cot ( 2 x )}{csc ( 2 x )} = sec (2 x)

p ro v e sin (3 x) = sin (x) (4 cos^{2} (x) - 1)