English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

доказывать sin^2(θ/2)=(csc(θ)-cot(θ))/(2csc(θ))

Решение

доказывать

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{csc ( θ ) - cot ( θ )}{2 csc ( θ )}

Верно

Шаги решения

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{csc ( θ ) - cot ( θ )}{2 csc ( θ )}

Допустим:

u = \frac{θ}{2}

sin^{2} (u) = \frac{csc ( 2 u ) - cot ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

Докажите

sin^{2} (u) = \frac{csc ( 2 u ) - cot ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )} :

Верно

sin^{2} (u) = \frac{csc ( 2 u ) - cot ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

Манипуляции с правой стороны

\frac{csc ( 2 u ) - cot ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

Выразите с помощью синуса (sin), косинуса (cos)

\frac{- cot ( 2 u ) + csc ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( 2 u )}{s i n ( 2 u )} + csc ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( 2 u )}{s i n ( 2 u )} + \frac{1}{s i n ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

Упростить

\frac{- \frac{c o s ( 2 u )}{s i n ( 2 u )} + \frac{1}{s i n ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}} : \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{2}

\frac{- \frac{c o s ( 2 u )}{s i n ( 2 u )} + \frac{1}{s i n ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

Сложите дроби

- \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + \frac{1}{sin ( 2 u )} : \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u )}

Примените правило

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u )}

= \frac{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{s i n ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u ) \cdot 2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

Умножьте

sin (2 u) \cdot 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 u )} : 2

sin (2 u) \cdot 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 u )}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( 2 u ) \cdot 2}{sin ( 2 u )}

Отмените общий множитель:

sin (2 u)

= 1 \cdot 2

Перемножьте числа:

1 \cdot 2 = 2

= 2

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{2}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

Перепишите используя тригонометрические тождества

\frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

Используйте тождество двойного угла:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2}

Упростить

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2} : sin^{2} (u)

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2}

Расширить

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

Расставьте скобки

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

Применение правил минус-плюс

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= sin^{2} (u)

= sin^{2} (u)

= sin^{2} (u)

Мы показали, что две стороны могут принимать одинаковую форму

\Rightarrow Верно

Поэтому

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{csc ( θ ) - cot ( θ )}{2 csc ( θ )}

Мы показали, что две стороны могут принимать одинаковую форму

\Rightarrow Верно