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beweisen cot(-a)cos(-a)+sin(-a)=-csc(a)

Lösung

beweisen

cot (- a) cos (- a) + sin (- a) = - csc (a)

Wahr

Schritte zur Lösung

cot (- a) cos (- a) + sin (- a) = - csc (a)

Manipuliere die linke Seite

cot (- a) cos (- a) + sin (- a)

Verwende die negative Winkelidentität:

sin (- x) = - sin (x)

= - sin (a) + cos (- a) cot (- a)

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= - sin (a) + cos (a) cot (- a)

Verwende die negative Winkelidentität:

cot (- x) = - cot (x)

= - sin (a) + cos (a) (- cot (a))

Drücke mit sin, cos aus

- sin (a) + (- cot (a)) cos (a)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - sin (a) + (- \frac{cos ( a )}{sin ( a )}) cos (a)

Vereinfache

- sin (a) + (- \frac{cos ( a )}{sin ( a )}) cos (a) : \frac{- sin ^{2} ( a ) - cos ^{2} ( a )}{sin ( a )}

- sin (a) + (- \frac{cos ( a )}{sin ( a )}) cos (a)

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - sin (a) - \frac{cos ( a )}{sin ( a )} cos (a)

\frac{cos ( a )}{sin ( a )} cos (a) = \frac{cos ^{2} ( a )}{sin ( a )}

\frac{cos ( a )}{sin ( a )} cos (a)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( a ) cos ( a )}{sin ( a )}

cos (a) cos (a) = cos^{2} (a)

cos (a) cos (a)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (a) cos (a) = cos^{1 + 1} (a)

= cos^{1 + 1} (a)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (a)

= \frac{cos ^{2} ( a )}{sin ( a )}

= - sin (a) - \frac{cos ^{2} ( a )}{sin ( a )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (a) = \frac{sin ( a ) sin ( a )}{sin ( a )}

= - \frac{sin ( a ) sin ( a )}{sin ( a )} - \frac{cos ^{2} ( a )}{sin ( a )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( a ) sin ( a ) - cos ^{2} ( a )}{sin ( a )}

- sin (a) sin (a) - cos^{2} (a) = - sin^{2} (a) - cos^{2} (a)

- sin (a) sin (a) - cos^{2} (a)

sin (a) sin (a) = sin^{2} (a)

sin (a) sin (a)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (a) sin (a) = sin^{1 + 1} (a)

= sin^{1 + 1} (a)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (a)

= - sin^{2} (a) - cos^{2} (a)

= \frac{- sin ^{2} ( a ) - cos ^{2} ( a )}{sin ( a )}

= \frac{- sin ^{2} ( a ) - cos ^{2} ( a )}{sin ( a )}

= \frac{- cos ^{2} ( a ) - sin ^{2} ( a )}{sin ( a )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{- cos ^{2} ( a ) - sin ^{2} ( a )}{sin ( a )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

- cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = - 1

= \frac{- 1}{sin ( a )}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{sin ( a )}

= - \frac{1}{sin ( a )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

- \frac{1}{\frac{1}{c s c ( a )}}

Vereinfache

- \frac{1}{\frac{1}{c s c ( a )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= - \frac{csc ( a )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= - csc (a)

- csc (a)

- csc (a)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 2 cos (x) tan (x) csc (x) = 2

p ro v e sec^{2} (y) - cot^{2} (\frac{π}{2} - y) = 1

p ro v e sin (\frac{π}{3} + x) - sin (\frac{π}{3} - x) = sin (x)

p ro v e tan (x) (csc (x) - sin (x)) = cos (x)

p ro v e tan (x) (sin (x) + cot (x) cos (x)) = sec (x)