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beweisen csc^2(x)*tan^2(x)-1=tan^2(x)

Lösung

beweisen

csc^{2} (x) \cdot tan^{2} (x) - 1 = tan^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

csc^{2} (x) tan^{2} (x) - 1 = tan^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

csc^{2} (x) tan^{2} (x) - 1

Drücke mit sin, cos aus

- 1 + csc^{2} (x) tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2} tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Vereinfache

- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )} \cdot \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (x)

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= - 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{sin ( x ) tan ( x )}{cos ( x )}

= tan (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) tan (x)

Vereinfache

tan (x) tan (x) : tan^{2} (x)

tan (x) tan (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (x) tan (x) = tan^{1 + 1} (x)

= tan^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (x)

tan^{2} (x)

tan^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sec^{2} (x) - cot^{2} (\frac{π}{2} - x) = 1

p ro v e sin (2 x) = - 2 sin (- x) cos (- x)

p ro v e sin (θ) csc (θ) - sin^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

p ro v e cos^{2} (x) csc (x) sec (x) = cot (x)

p ro v e \frac{cos ^{2} ( - x ) csc ( x )}{cot ( x )} = cos (x)