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beweisen cos(2θ)=(2-sec^2(θ))/(sec^2(θ))

Lösung

beweisen

cos (2 θ) = \frac{2 - sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (2 θ) = \frac{2 - sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2 - sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{2 - sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{2 - ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{2 - ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}} : 2 cos^{2} (θ) - 1

\frac{2 - ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{2 - ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{2 - \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 2 - \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )} ) cos ^{2} ( θ )}{1}

Füge

2 - \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{cos ^{2} ( θ )}

2 - \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{2 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} - \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{2 c o s ^{2} ( θ ) - 1}{c o s ^{2} ( θ )} cos ^{2} ( θ )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{cos ^{2} ( θ )} cos^{2} (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (θ)

= 2 cos^{2} (θ) - 1

= 2 cos^{2} (θ) - 1

= - 1 + 2 cos^{2} (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + 2 cos^{2} (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= cos (2 θ)

= cos (2 θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e (tan (x) + sec (x)) (1 - sin (x)) = cos (x)

p ro v e \frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x )} = csc^{2} (x) + 1

p ro v e sin (θ) + cos (θ) = 2 sin (θ + 4 5^{\circ})

p ro v e \frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )} = \frac{cot ( θ ) - 1}{cot ( θ ) + 1}

p ro v e cot (θ) sin (θ) cos (θ) = 1 - sin^{2} (θ)