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beweisen 1/(1-sin(r))=sec^2(r)+sec(r)tan(r)

Lösung

beweisen

\frac{1}{1 - sin ( r )} = sec^{2} (r) + sec (r) tan (r)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{1 - sin ( r )} = sec^{2} (r) + sec (r) tan (r)

Manipuliere die rechte Seite

sec^{2} (r) + sec (r) tan (r)

Drücke mit sin, cos aus

sec^{2} (r) + sec (r) tan (r)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( r )})^{2} + \frac{1}{cos ( r )} tan (r)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( r )})^{2} + \frac{1}{cos ( r )} \cdot \frac{sin ( r )}{cos ( r )}

Vereinfache

(\frac{1}{cos ( r )})^{2} + \frac{1}{cos ( r )} \cdot \frac{sin ( r )}{cos ( r )} : \frac{1 + sin ( r )}{cos ^{2} ( r )}

(\frac{1}{cos ( r )})^{2} + \frac{1}{cos ( r )} \cdot \frac{sin ( r )}{cos ( r )}

(\frac{1}{cos ( r )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( r )}

(\frac{1}{cos ( r )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( r )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( r )}

\frac{1}{cos ( r )} \cdot \frac{sin ( r )}{cos ( r )} = \frac{sin ( r )}{cos ^{2} ( r )}

\frac{1}{cos ( r )} \cdot \frac{sin ( r )}{cos ( r )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( r )}{cos ( r ) cos ( r )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (r) = sin (r)

= \frac{sin ( r )}{cos ( r ) cos ( r )}

cos (r) cos (r) = cos^{2} (r)

cos (r) cos (r)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (r) cos (r) = cos^{1 + 1} (r)

= cos^{1 + 1} (r)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (r)

= \frac{sin ( r )}{cos ^{2} ( r )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( r )} + \frac{sin ( r )}{cos ^{2} ( r )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( r )}{cos ^{2} ( r )}

= \frac{1 + sin ( r )}{cos ^{2} ( r )}

= \frac{1 + sin ( r )}{cos ^{2} ( r )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 + sin ( r )}{cos ^{2} ( r )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (r) + sin^{2} (r) = 1

cos^{2} (r) = 1 - sin^{2} (r)

= \frac{1 + sin ( r )}{1 - sin ^{2} ( r )}

Faktorisiere

1 - sin^{2} (r) : (1 + sin (r)) (1 - sin (r))

1 - sin^{2} (r)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

r^{2} - y^{2} = (r + y) (r - y)

1 - sin^{2} (r) = (1 + sin (r)) (1 - sin (r))

= (1 + sin (r)) (1 - sin (r))

= \frac{1 + sin ( r )}{( 1 + sin ( r ) ) ( 1 - sin ( r ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 + sin (r)

= \frac{1}{1 - sin ( r )}

= \frac{1}{1 - sin ( r )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1}{sec ( x )} = sec (x) - tan (x) sin (x)

p ro v e sin (a + b) sin (a - b) = sin^{2} (b) - sin^{2} (a)

p ro v e sec (b) + tan (b) = \frac{cos ( b )}{1 - sin ( b )}

p ro v e cot^{4} (x) + cot^{2} (x) = csc^{4} (x) - csc^{2} (x)

p ro v e 1 - tanh^{2} (x) = sech^{2} (x)