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beweisen sin^2(β)csc^2(β)-sin^2(β)=cos^2(β)

Lösung

beweisen

sin^{2} (β) csc^{2} (β) - sin^{2} (β) = cos^{2} (β)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin^{2} (β) csc^{2} (β) - sin^{2} (β) = cos^{2} (β)

Manipuliere die linke Seite

sin^{2} (β) csc^{2} (β) - sin^{2} (β)

Drücke mit sin, cos aus

- sin^{2} (β) + csc^{2} (β) sin^{2} (β)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - sin^{2} (β) + (\frac{1}{sin ( β )})^{2} sin^{2} (β)

Vereinfache

- sin^{2} (β) + (\frac{1}{sin ( β )})^{2} sin^{2} (β) : - sin^{2} (β) + 1

- sin^{2} (β) + (\frac{1}{sin ( β )})^{2} sin^{2} (β)

(\frac{1}{sin ( β )})^{2} sin^{2} (β) = 1

(\frac{1}{sin ( β )})^{2} sin^{2} (β)

(\frac{1}{sin ( β )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( β )}

(\frac{1}{sin ( β )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( β )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( β )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( β )} sin^{2} (β)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( β )}{sin ^{2} ( β )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (β)

= 1

= - sin^{2} (β) + 1

= - sin^{2} (β) + 1

= 1 - sin^{2} (β)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - sin^{2} (β)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos^{2} (β)

= cos^{2} (β)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot^{2} (a) - cos^{2} (a) = cot^{2} (a) cos^{2} (a)

p ro v e cos^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1) = sin^{2} (θ)

p ro v e cot^{2} (y) sec^{2} (y) = 1 + cot^{2} (y)

p ro v e csc (θ) - cot (θ) \cdot cos (θ) = sin (θ)

p ro v e \frac{1}{cos ( x )} = sec (x)