zs

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

受欢迎的三角函数 >

证明 (cos(θ))/(1-sin(θ))-tan(θ)=sec(θ)

解答

证明

\frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} - tan (θ) = sec (θ)

解答

真

求解步骤

\frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} - tan (θ) = sec (θ)

调整左侧

\frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} - tan (θ)

用 sin, cos 表示

\frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} - tan (θ)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

化简

\frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}

\frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

1 - sin (θ), cos (θ)

的最小公倍数:

cos (θ) (- sin (θ) + 1)

1 - sin (θ), cos (θ)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

1 - sin (θ)

或

cos (θ)

中的因子组成的表达式

= cos (θ) (- sin (θ) + 1)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

cos (θ) (- sin (θ) + 1)

对于

\frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} :

将分母和分子乘以

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}

对于

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

将分母和分子乘以

- sin (θ) + 1

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )} - \frac{sin ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - ( 1 - sin ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

使用三角恒等式改写

\frac{cos ^{2} ( θ ) - ( 1 - sin ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ ) - ( 1 - sin ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

化简

\frac{1 - sin ^{2} ( θ ) - ( 1 - sin ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )} : \frac{1}{cos ( θ )}

\frac{1 - sin ^{2} ( θ ) - ( 1 - sin ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

乘开

1 - sin^{2} (θ) - (1 - sin (θ)) sin (θ) : - sin (θ) + 1

1 - sin^{2} (θ) - (1 - sin (θ)) sin (θ)

= 1 - sin^{2} (θ) - sin (θ) (1 - sin (θ))

乘开

- sin (θ) (1 - sin (θ)) : - sin (θ) + sin^{2} (θ)

- sin (θ) (1 - sin (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = - sin (θ), b = 1, c = sin (θ)

= - sin (θ) \cdot 1 - (- sin (θ)) sin (θ)

使用加减运算法则

- (- a) = a

= - 1 \cdot sin (θ) + sin (θ) sin (θ)

化简

- 1 \cdot sin (θ) + sin (θ) sin (θ) : - sin (θ) + sin^{2} (θ)

- 1 \cdot sin (θ) + sin (θ) sin (θ)

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

1 \cdot sin (θ)

乘以:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= sin (θ)

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= - sin (θ) + sin^{2} (θ)

= - sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - sin^{2} (θ) - sin (θ) + sin^{2} (θ)

化简

1 - sin^{2} (θ) - sin (θ) + sin^{2} (θ) : - sin (θ) + 1

1 - sin^{2} (θ) - sin (θ) + sin^{2} (θ)

对同类项分组

= - sin^{2} (θ) - sin (θ) + sin^{2} (θ) + 1

同类项相加:

- sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 0

= - sin (θ) + 1

= - sin (θ) + 1

= \frac{- sin ( θ ) + 1}{cos ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}

约分:

- sin (θ) + 1

= \frac{1}{cos ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ )}

使用三角恒等式改写

使用基本三角恒等式:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )}}

化简

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )}}

使用分式法则:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( θ )}{1}

使用法则

\frac{a}{1} = a

= sec (θ)

sec (θ)

sec (θ)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 sin^2(θ)sec(θ)csc(θ)=tan(θ)

p ro v e sin^{2} (θ) sec (θ) csc (θ) = tan (θ)

证明 csc(x)(cos(x)+sin(x))=cot(x)+1

p ro v e csc (x) (cos (x) + sin (x)) = cot (x) + 1

证明 cos^2(x)+cos^2(x)cot^2(x)=cot^2(x)

p ro v e cos^{2} (x) + cos^{2} (x) cot^{2} (x) = cot^{2} (x)

证明 sqrt(2)cos(x-pi/4)=cos(x)+sin(x)

p ro v e 2 cos (x - \frac{π}{4}) = cos (x) + sin (x)

证明 (cos(u))/(1-sin(u))=sec(u)+tan(u)

p ro v e \frac{cos ( u )}{1 - sin ( u )} = sec (u) + tan (u)