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dimostrare (1+cos(2x))/(sin^2(x))=2cot^2(x)

Soluzione

dimostrare

\frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ^{2} ( x )} = 2 cot^{2} (x)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ^{2} ( x )} = 2 cot^{2} (x)

Manipolando il lato sinistro

\frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ^{2} ( x )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 = 2 cos^{2} (x)

1 + 2 cos^{2} (x) - 1

Raggruppa termini simili

= 2 cos^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x)

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

= \frac{2 cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

\frac{2 cos ( x ) cot ( x )}{sin ( x )}

= 2 cot (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

2 cot (x) cot (x)

Semplifica

2 cot (x) cot (x) : 2 cot^{2} (x)

2 cot (x) cot (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cot (x) cot (x) = cot^{1 + 1} (x)

= 2 cot^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2 cot^{2} (x)

2 cot^{2} (x)

2 cot^{2} (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e tan (θ) + cot (θ) = \frac{2}{sin ( 2 θ )}

p ro v e \frac{csc ( θ )}{sin ( θ )} = csc^{2} (θ)

p ro v e 2 sin (2 x) = 4 sin (x) cos (x)

p ro v e \frac{1 - sin ( x )}{sec ( x )} = \frac{cos ^{3} ( x )}{1 + sin ( x )}

p ro v e cos (2 α) = - 1 + \frac{2}{1 + tan ^{2} ( α )}