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provar ((cos^2(x)+4cos(x)+4))/((cos(x)+2))=((2sec(x)+1))/(sec(x))

Solução

provar

\frac{( cos ^{2} ( x ) + 4 cos ( x ) + 4 )}{( cos ( x ) + 2 )} = \frac{( 2 sec ( x ) + 1 )}{sec ( x )}

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{cos ^{2} ( x ) + 4 cos ( x ) + 4}{cos ( x ) + 2} = \frac{2 sec ( x ) + 1}{sec ( x )}

Manipular o lado direito

\frac{cos ^{2} ( x ) + 4 cos ( x ) + 4}{cos ( x ) + 2}

Simplificar

\frac{4 + cos ^{2} ( x ) + 4 cos ( x )}{2 + cos ( x )} : cos (x) + 2

\frac{4 + cos ^{2} ( x ) + 4 cos ( x )}{2 + cos ( x )}

Fatorar

4 + cos^{2} (x) + 4 cos (x) : (cos (x) + 2)^{2}

4 + cos^{2} (x) + 4 cos (x)

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c

= cos^{2} (x) + 4 cos (x) + 4

Reescrever

cos^{2} (x) + 4 cos (x) + 4

como

cos^{2} (x) + 2 cos (x) \cdot 2 + 2^{2}

cos^{2} (x) + 4 cos (x) + 4

Reescrever

4

como

2^{2}

= cos^{2} (x) + 2^{2} cos (x) + 2^{2}

Reescrever

2^{2} cos (x)

como

2 cos (x) \cdot 2

= cos^{2} (x) + 2 cos (x) \cdot 2 + 2^{2}

= cos^{2} (x) + 2 cos (x) \cdot 2 + 2^{2}

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = cos (x), b = 2

= (cos (x) + 2)^{2}

= \frac{( cos ( x ) + 2 ) ^{2}}{2 + cos ( x )}

Eliminar o fator comum:

cos (x) + 2

= cos (x) + 2

= 2 + cos (x)

Manipular o lado esquerdo

\frac{2 sec ( x ) + 1}{sec ( x )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{1 + 2 sec ( x )}{sec ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{c o s ( x )}}{\frac{1}{c o s ( x )}}

Simplificar

\frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{c o s ( x )}}{\frac{1}{c o s ( x )}} : cos (x) + 2

\frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{c o s ( x )}}{\frac{1}{c o s ( x )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + 2 \cdot \frac{1}{c o s ( x )} ) cos ( x )}{1}

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} = \frac{2}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x ) ( \frac{2}{c o s ( x )} + 1 )}{1}

Simplificar

1 + \frac{2}{cos ( x )}

em uma fração:

\frac{cos ( x ) + 2}{cos ( x )}

1 + \frac{2}{cos ( x )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{2}{cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + 2}{cos ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + 2}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x ) + 2}{c o s ( x )} cos ( x )}{1}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{1} = a

= \frac{cos ( x ) + 2}{cos ( x )} cos (x)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ( x ) + 2 ) cos ( x )}{cos ( x )}

Eliminar o fator comum:

cos (x)

= cos (x) + 2

= cos (x) + 2

= 2 + cos (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar 5cos^2(x)-5sin^2(x)=10cos^2(x)-5

p ro v e 5 cos^{2} (x) - 5 sin^{2} (x) = 10 cos^{2} (x) - 5

provar tan(x)=((1-cos(2x)))/((sin(2x)))

p ro v e tan (x) = \frac{( 1 - cos ( 2 x ) )}{( sin ( 2 x ) )}

provar cot(pi-θ)=-cot(θ)

p ro v e cot (π - θ) = - cot (θ)

provar sin(x+2pi)=sin(x)

p ro v e sin (x + 2 π) = sin (x)

provar (cos(3a)cos(2a))/(sin(3a)sin(2a))=(cot(2a))/(tan(3a))

p ro v e \frac{cos ( 3 a ) cos ( 2 a )}{sin ( 3 a ) sin ( 2 a )} = \frac{cot ( 2 a )}{tan ( 3 a )}