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beweisen 1/(cos^2(θ))=tan^2(θ)+1

Lösung

beweisen

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = tan^{2} (θ) + 1

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = tan^{2} (θ) + 1

Manipuliere die rechte Seite

tan^{2} (θ) + 1

Drücke mit sin, cos aus

1 + tan^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Vereinfache

1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1}{2} (cot (θ) - tan (θ)) = cot (2 θ)

p ro v e sin^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sec ( x ) - 1}{2 sec ( x )}

p ro v e cos (x) - cos (x) = 0

p ro v e \frac{csc ^{2} ( θ ) - 2}{csc ^{2} ( θ )} = cos (2 θ)

p ro v e sin (- x) cos (\frac{π}{2} - x) = \frac{cos ( 2 x ) - 1}{2}