prove 1-sin(x)=(sin(x/2)-cos(x/2))^2

الحلّ

prove

1 - sin (x) = (sin (\frac{x}{2}) - cos (\frac{x}{2}))^{2}

صحيح

خطوات الحلّ

1 - sin (x) = (sin (\frac{x}{2}) - cos (\frac{x}{2}))^{2}

u = \frac{x}{2} :

على افتراض أنّ

1 - sin (2 u) = (sin (u) - cos (u))^{2}

1 - sin (2 u) = (sin (u) - cos (u))^{2}

أثبت أنّ:

صحيح

1 - sin (2 u) = (sin (u) - cos (u))^{2}

قم بالعمل على الطرف الأيسر

1 - sin (2 u)

1 = cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

= (cos^{2} (u) + sin^{2} (u)) - sin (2 u)

sin (2 u) = 2 sin (u) cos (u)

:فعّل متطابقة الزاوية المضاعفة

= cos^{2} (u) + sin^{2} (u) - 2 sin (u) cos (u)

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

:فعّل صيغة الضرب المختصر

sin^{2} (u) - 2 sin (u) cos (u) + cos^{2} (u) = (sin (u) - cos (u))^{2}

= (sin (u) - cos (u))^{2}

أظهرنا بأنّ الطرفين من الممكن أن تكون لهما نفس الصورة

\Rightarrow صحيح

1 - sin (x) = (sin (\frac{x}{2}) - cos (\frac{x}{2}))^{2}

لذلك

أظهرنا بأنّ الطرفين من الممكن أن تكون لهما نفس الصورة

\Rightarrow صحيح

p ro v e sin (θ) = cos (\frac{π}{2} - θ)

p ro v e cot (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

p ro v e \frac{( sin ( x ) )}{( 1 - cos ( x ) )} - \frac{( 1 )}{( sin ( x ) )} = cot (x)

p ro v e sin (0) sec (0) = tan (0)

p ro v e cos (2 a) = \frac{cot ( a ) - tan ( a )}{csc ( a ) sec ( a )}