English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove tan(pi/2-x)cot(x)=csc^2(x)-1

פתרון

prove

tan (\frac{π}{2} - x) cot (x) = csc^{2} (x) - 1

פתרון

נכון

צעדי פתרון

tan (\frac{π}{2} - x) cot (x) = csc^{2} (x) - 1

עבוד על אגף שמאל

tan (\frac{π}{2} - x) cot (x)

Rewrite using trig identities

tan (\frac{π}{2} - x)

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{sin ( \frac{π}{2} - x )}{cos ( \frac{π}{2} - x )}

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

:הפעל זהות של הפרש זוויות

= \frac{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( x ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( x )}{cos ( \frac{π}{2} - x )}

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

:הפעל זהות של הפרש זוויות

= \frac{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( x ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( x )}{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( x ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( x )}

\frac{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( x ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( x )}{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( x ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( x )}

פשט את:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( x ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( x )}{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( x ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( x )}

sin (\frac{π}{2}) cos (x) - cos (\frac{π}{2}) sin (x) = cos (x)

sin (\frac{π}{2}) cos (x) - cos (\frac{π}{2}) sin (x)

sin (\frac{π}{2}) cos (x) = cos (x)

sin (\frac{π}{2}) cos (x)

sin (\frac{π}{2})

פשט את:

1

sin (\frac{π}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 1

= 1 \cdot cos (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x) :

הכפל

= cos (x)

cos (\frac{π}{2}) sin (x) = 0

cos (\frac{π}{2}) sin (x)

cos (\frac{π}{2})

פשט את:

0

cos (\frac{π}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (x)

0 \cdot a = 0

הפעל את החוק

= 0

= cos (x) - 0

cos (x) - 0 = cos (x)

= cos (x)

= \frac{cos ( x )}{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( x ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( x )}

cos (\frac{π}{2}) cos (x) + sin (\frac{π}{2}) sin (x) = sin (x)

cos (\frac{π}{2}) cos (x) + sin (\frac{π}{2}) sin (x)

cos (\frac{π}{2}) cos (x) = 0

cos (\frac{π}{2}) cos (x)

cos (\frac{π}{2})

פשט את:

0

cos (\frac{π}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (x)

0 \cdot a = 0

הפעל את החוק

= 0

sin (\frac{π}{2}) sin (x) = sin (x)

sin (\frac{π}{2}) sin (x)

sin (\frac{π}{2})

פשט את:

1

sin (\frac{π}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 1

= 1 \cdot sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x) :

הכפל

= sin (x)

= 0 + sin (x)

0 + sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} cot (x)

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{cos ( x ) cot ( x )}{sin ( x )}

sin, cos :

בטא באמצאות

\frac{cos ( x ) cot ( x )}{sin ( x )}

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{cos ( x ) \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{sin ( x )}

\frac{cos ( x ) \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{sin ( x )}

פשט את:

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{cos ( x ) \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{sin ( x )}

cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

הכפל ב:

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ( x )}}{sin ( x )}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) sin ( x )}

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Rewrite using trig identities

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Rewrite using trig identities

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

\frac{1 - ( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

פשט

\frac{1 - ( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}{\frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

= \frac{1 - \frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}{\frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{( 1 - \frac{1}{c s c ^{2} ( x )} ) csc ^{2} ( x )}{1}

1 - \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

אחד את:

\frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )}

1 - \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

1 = \frac{1 csc ^{2} ( x )}{csc ^{2} ( x )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{1 \cdot csc ^{2} ( x )}{csc ^{2} ( x )} - \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{1 \cdot csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )}

1 \cdot csc^{2} (x) = csc^{2} (x) :

הכפל

= \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{c s c ^{2} ( x ) - 1}{c s c ^{2} ( x )} csc ^{2} ( x )}{1}

\frac{a}{1} = a

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )} csc^{2} (x)

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{( csc ^{2} ( x ) - 1 ) csc ^{2} ( x )}{csc ^{2} ( x )}

csc^{2} (x) :

בטל את הגורמים המשותפים

= csc^{2} (x) - 1

csc^{2} (x) - 1

csc^{2} (x) - 1

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove cot^2(α)=cos^2(α)+(cot(α)*cos(α))^2

p ro v e cot^{2} (α) = cos^{2} (α) + (cot (α) \cdot cos (α))^{2}

prove 1/(tan(α))*1/(cos(α))= 1/(sin(α))

p ro v e \frac{1}{tan ( α )} \cdot \frac{1}{cos ( α )} = \frac{1}{sin ( α )}

prove sec(x)=arccos(x)

p ro v e sec (x) = arccos (x)

prove tan(θ)+sin(θ)=4(1+cos(θ))

p ro v e tan (θ) + sin (θ) = 4 (1 + cos (θ))

prove 2/(cot(x)tan(x))=sin(2x)

p ro v e \frac{2}{cot ( x ) tan ( x )} = sin (2 x)