ja

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人気のある三角関数 >

証明する 1/2 cot(x/2)-1/2 tan(x/2)=cot(x)

解

証明する

\frac{1}{2} cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} tan (\frac{x}{2}) = cot (x)

解

真

解答ステップ

\frac{1}{2} cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} tan (\frac{x}{2}) = cot (x)

仮定:

u = \frac{x}{2}

\frac{1}{2} cot (u) - \frac{1}{2} tan (u) = cot (2 u)

以下を証明する

\frac{1}{2} cot (u) - \frac{1}{2} tan (u) = cot (2 u) :

真

\frac{1}{2} cot (u) - \frac{1}{2} tan (u) = cot (2 u)

左側を操作する

\frac{1}{2} cot (u) - \frac{1}{2} tan (u)

サイン, コサインで表わす

cot (u) \frac{1}{2} - \frac{1}{2} tan (u)

基本的な三角関数の公式を使用する:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} tan (u)

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

簡素化

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )} : \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2} = \frac{cos ( u )}{2 sin ( u )}

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{1}{2}

分数を乗じる:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( u ) \cdot 1}{sin ( u ) \cdot 2}

乗算:

cos (u) \cdot 1 = cos (u)

= \frac{cos ( u )}{2 sin ( u )}

\frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )} = \frac{sin ( u )}{2 cos ( u )}

\frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

分数を乗じる:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( u )}{2 cos ( u )}

乗算:

1 \cdot sin (u) = sin (u)

= \frac{sin ( u )}{2 cos ( u )}

= \frac{cos ( u )}{2 sin ( u )} - \frac{sin ( u )}{2 cos ( u )}

以下の最小公倍数:

sin (u) 2, 2 cos (u) : 2 sin (u) cos (u)

sin (u) \cdot 2, 2 cos (u)

最小公倍数 (LCM)

以下の最小公倍数:

2, 2 : 2

2, 2

最小公倍数 (LCM)

以下の素因数分解:

2 : 2

2

2

は素数なので, 因数分解できない

= 2

以下の素因数分解:

2 : 2

2

2

は素数なので, 因数分解できない

= 2

2

または以下のいずれかで生じる最大回数, 各因数を乗じる:

2

= 2

数を乗じる:

2 = 2

= 2

sin (u) 2

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

2 cos (u)

= 2 sin (u) cos (u)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

2 sin (u) cos (u)

\frac{cos ( u )}{sin ( u ) \cdot 2}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos (u)

\frac{cos ( u )}{sin ( u ) \cdot 2} = \frac{cos ( u ) cos ( u )}{sin ( u ) \cdot 2 cos ( u )} = \frac{cos ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

\frac{sin ( u )}{2 cos ( u )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

sin (u)

\frac{sin ( u )}{2 cos ( u )} = \frac{sin ( u ) sin ( u )}{2 cos ( u ) sin ( u )} = \frac{sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )} - \frac{sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 cos ( u ) sin ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 cos ( u ) sin ( u )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{2 cos ( u ) sin ( u )}

2倍角の公式を使用:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{sin ( 2 u )}

2倍角の公式を使用:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

= \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (2 u)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

このため

\frac{1}{2} cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} tan (\frac{x}{2}) = cot (x)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する (-cot(x)+1)/(tan(x)-1)=cot(x)

p ro v e \frac{- cot ( x ) + 1}{tan ( x ) - 1} = cot (x)

証明する 4cos^2(a)+4sin^2(a)=4

p ro v e 4 cos^{2} (a) + 4 sin^{2} (a) = 4

証明する (sin(a))/(tan(a))=cos(a)

p ro v e \frac{sin ( a )}{tan ( a )} = cos (a)

証明する sin^2(3x)+cos^2(3x)=1

p ro v e sin^{2} (3 x) + cos^{2} (3 x) = 1

証明する cos(pi/7)=sin(pi/2-pi/7)

p ro v e cos (\frac{π}{7}) = sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{7})