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beweisen sec(2x)=(csc^2(x))/(csc^2(x)-2)

Lösung

beweisen

sec (2 x) = \frac{csc ^{2} ( x )}{csc ^{2} ( x ) - 2}

Wahr

Schritte zur Lösung

sec (2 x) = \frac{csc ^{2} ( x )}{csc ^{2} ( x ) - 2}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{csc ^{2} ( x )}{csc ^{2} ( x ) - 2}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{csc ^{2} ( x )}{- 2 + csc ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}} : \frac{1}{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}

\frac{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{- 2 + \frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}{- 2 + \frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x ) ( - 2 + \frac{1}{s i n ^{2} ( x )} )}

Füge

- 2 + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

- 2 + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= - \frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{- 2 s i n ^{2} ( x ) + 1}{s i n ^{2} ( x )} sin ^{2} ( x )}

Multipliziere

sin^{2} (x) \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )} : - 2 sin^{2} (x) + 1

sin^{2} (x) \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - 2 sin ^{2} ( x ) + 1 ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (x)

= - - 2 sin^{2} (x) + 1

= \frac{1}{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}

= \frac{1}{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}

= \frac{1}{1 - 2 sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{1 - 2 sin ^{2} ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( 2 x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (2 x)

sec (2 x)

sec (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1 - cos ( a )}{1 + cos ( a )} = tan^{2} (\frac{a}{2})

p ro v e csc^{2} (x) - cos (x) sec (x) = cot^{2} (x)

p ro v e \frac{csc ( x ) + 1}{cot ( x ) + cos ( x )} = sec (x)

p ro v e csc^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( θ )}

p ro v e sec (x) cos (x) + tan^{2} (x) = sec^{2} (x)