English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

beweisen (sin(4θ)+sin(2θ))/(cos(4θ)+cos(2θ))=tan(3θ)

Lösung

beweisen

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )} = tan (3 θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )} = tan (3 θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )}

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) + cos (t) = 2 cos (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{2 cos ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}

Vereinfache

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{2 cos ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )} : \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{2 cos ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}

2 cos (\frac{2 θ + 4 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2}) = 2 cos (\frac{6 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

2 cos (\frac{2 θ + 4 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2})

Addiere gleiche Elemente:

2 θ + 4 θ = 6 θ

= 2 cos (\frac{6 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2})

\frac{2 θ - 4 θ}{2} = - \frac{2 θ}{2}

\frac{2 θ - 4 θ}{2}

Addiere gleiche Elemente:

2 θ - 4 θ = - 2 θ

= \frac{- 2 θ}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 θ}{2}

= 2 cos (\frac{6 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

= \frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{2 cos ( \frac{6 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( \frac{2 θ}{2} ) cos ( \frac{6 θ}{2} )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( θ ) cos ( \frac{6 θ}{2} )}

Teile die Zahlen:

\frac{6}{2} = 3

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

Vereinfache

\frac{2 sin ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )} : \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

\frac{2 sin ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

2 sin (\frac{2 θ + 4 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2}) = 2 sin (\frac{6 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

2 sin (\frac{2 θ + 4 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2})

Addiere gleiche Elemente:

2 θ + 4 θ = 6 θ

= 2 sin (\frac{6 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2})

\frac{2 θ - 4 θ}{2} = - \frac{2 θ}{2}

\frac{2 θ - 4 θ}{2}

Addiere gleiche Elemente:

2 θ - 4 θ = - 2 θ

= \frac{- 2 θ}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 θ}{2}

= 2 sin (\frac{6 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{6 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( \frac{6 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}{cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{cos ( \frac{2 θ}{2} ) sin ( \frac{6 θ}{2} )}{cos ( 3 θ ) cos ( θ )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ( θ ) sin ( \frac{6 θ}{2} )}{cos ( 3 θ ) cos ( θ )}

Teile die Zahlen:

\frac{6}{2} = 3

= \frac{cos ( θ ) sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ ) cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

= \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

= \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (3 θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e (sec (x) + tan (x))^{2} = \frac{( csc ( x ) + 1 )}{csc ( x ) - 1}

p ro v e \frac{sin ( x )}{- cos ( x )} = sin (x) + tan (x)

p ro v e (cot (X) - csc (X)) (cot (X) + csc (X)) = - 1

p ro v e \frac{2 sin ( 2 θ ) cos ( θ )}{2 sin ( 2 θ )} = cos (θ)

p ro v e - sin (2 x) + cos (2 x) = 1