English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Phổ biến Lượng giác >

chứng minh 1/(csc(x)+1)+1/(csc(x)-1)=2sec(x)tan(x)

Lời Giải

chứng minh

\frac{1}{csc ( x ) + 1} + \frac{1}{csc ( x ) - 1} = 2 sec (x) tan (x)

Lời Giải

Đ \overset{u}{ˊ} ng

Các bước giải pháp

\frac{1}{csc ( x ) + 1} + \frac{1}{csc ( x ) - 1} = 2 sec (x) tan (x)

Thao tác bên trái

\frac{1}{csc ( x ) + 1} + \frac{1}{csc ( x ) - 1}

Biểu diễn dưới dạng sin, cos

\frac{1}{- 1 + csc ( x )} + \frac{1}{1 + csc ( x )}

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Rút gọn

\frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}} : \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

\frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} = \frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1}

\frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Hợp

- 1 + \frac{1}{sin ( x )} : \frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

- 1 + \frac{1}{sin ( x )}

Chuyển phần tử thành phân số:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Nhân:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{1}{\frac{- s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1}

\frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}} = \frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

\frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Hợp

1 + \frac{1}{sin ( x )} : \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

1 + \frac{1}{sin ( x )}

Chuyển phần tử thành phân số:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Nhân:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{1}{\frac{s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

= \frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} + \frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

Bội Số Chung Nhỏ Nhất của

- sin (x) + 1, sin (x) + 1 : (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

- sin (x) + 1, sin (x) + 1

Bội Số Chung Nhỏ Nhất (LCM)

Tính một biểu thức bao gồm các thừa số xuất hiện trong

- sin (x) + 1

hoặc

sin (x) + 1

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Điều chỉnh phân số dựa trên LCM

Nhân mỗi tử số với cùng một lượng cần thiết để nhân nó

mẫu số tương ứng để biến nó thành LCM

(sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Đối với

\frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} :

nhân mẫu số và tử số với

sin (x) + 1

\frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} = \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

Đối với

\frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1} :

nhân mẫu số và tử số với

- sin (x) + 1

\frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1} = \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 ) + sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Mở rộng

sin (x) (sin (x) + 1) + sin (x) (- sin (x) + 1) : 2 sin (x)

sin (x) (sin (x) + 1) + sin (x) (- sin (x) + 1)

Mở rộng

sin (x) (sin (x) + 1) : sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) (sin (x) + 1)

Áp dụng luật phân phối:

a (b + c) = ab + a c

a = sin (x), b = sin (x), c = 1

= sin (x) sin (x) + sin (x) \cdot 1

= sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

Rút gọn

sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x) : sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Áp dụng quy tắc số mũ:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Thêm các số:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 \cdot sin (x)

Nhân:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x) + sin (x) (- sin (x) + 1)

Mở rộng

sin (x) (- sin (x) + 1) : - sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) (- sin (x) + 1)

Áp dụng luật phân phối:

a (b + c) = ab + a c

a = sin (x), b = - sin (x), c = 1

= sin (x) (- sin (x)) + sin (x) \cdot 1

Áp dụng quy tắc trừ-cộng

+ (- a) = - a

= - sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

Rút gọn

- sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x) : - sin^{2} (x) + sin (x)

- sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Áp dụng quy tắc số mũ:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Thêm các số:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 \cdot sin (x)

Nhân:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x) - sin^{2} (x) + sin (x)

Rút gọn

sin^{2} (x) + sin (x) - sin^{2} (x) + sin (x) : 2 sin (x)

sin^{2} (x) + sin (x) - sin^{2} (x) + sin (x)

Thêm các phần tử tương tự:

sin^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0

= sin (x) + sin (x)

Thêm các phần tử tương tự:

sin (x) + sin (x) = 2 sin (x)

= 2 sin (x)

= 2 sin (x)

= \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

\frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Mở rộng

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Áp Dụng Công Thức Hiệu của Các Bình Phương:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Áp dụng quy tắc

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Sử dụng hằng đẳng thức Pitago:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Thao tác bên phải

2 sec (x) tan (x)

Biểu diễn dưới dạng sin, cos

2 sec (x) tan (x)

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} tan (x)

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Rút gọn

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x ) cos ( x )}

Nhân các số:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Áp dụng quy tắc số mũ:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Thêm các số:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Chúng tôi đã cho thấy rằng hai bên có thể có cùng một dạng

\Rightarrow Đ \overset{u}{ˊ} ng

Ví dụ phổ biến

chứng minh 25cos^2(x)=25-25sin^2(x)

p ro v e 25 cos^{2} (x) = 25 - 25 sin^{2} (x)

chứng minh sin(180-θ)=sin(θ)

p ro v e sin (18 0^{\circ} - θ) = sin (θ)

chứng minh 2cot^2(x)sin^2(x)=1+2cos(x)

p ro v e 2 cot^{2} (x) sin^{2} (x) = 1 + 2 cos (x)

chứng minh cos(x)=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)

p ro v e cos (x) = cos^{2} (\frac{x}{2}) - sin^{2} (\frac{x}{2})

chứng minh 2sin(z)cos(z)=sin(2z)

p ro v e 2 sin (z) cos (z) = sin (2 z)