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beweisen sec(2x)=(csc(x))/(csc(x)-2sin(x))

Lösung

beweisen

sec (2 x) = \frac{csc ( x )}{csc ( x ) - 2 sin ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sec (2 x) = \frac{csc ( x )}{csc ( x ) - 2 sin ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{csc ( x )}{csc ( x ) - 2 sin ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{csc ( x )}{csc ( x ) - 2 sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{1}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )} - 2 sin ( x )}

Vereinfache

\frac{\frac{1}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )} - 2 sin ( x )} : \frac{1}{1 - 2 sin ^{2} ( x )}

\frac{\frac{1}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )} - 2 sin ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{sin ( x ) ( \frac{1}{s i n ( x )} - 2 sin ( x ) )}

Füge

\frac{1}{sin ( x )} - 2 sin (x)

zusammen:

\frac{1 - 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} - 2 sin (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 sin (x) = \frac{2 sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - \frac{2 sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 2 sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

1 - 2 sin (x) sin (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

1 - 2 sin (x) sin (x)

2 sin (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x)

2 sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{\frac{- 2 s i n ^{2} ( x ) + 1}{s i n ( x )} sin ( x )}

Multipliziere

sin (x) \frac{1 - 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x )} : 1 - 2 sin^{2} (x)

sin (x) \frac{1 - 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1}{1 - 2 sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{1 - 2 sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{1 - 2 sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{1 - 2 sin ^{2} ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( 2 x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (2 x)

sec (2 x)

sec (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1}{arctan ( x )} = arccot (x)

p ro v e \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )} - tan (θ) = cot (θ)

p ro v e cot (θ) \cdot sec (θ) = \frac{1}{cos ( θ )}

p ro v e sin (x) sin (y) = 2 sin (\frac{x + y}{2}) cos (\frac{x - y}{2})

p ro v e 1 - sin (x) \cdot cos (x) \cdot tan (x) = cos^{2} (x)