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Beliebt Trigonometrie >

beweisen csc(x)(sin(x)+tan(x))=1+sec(x)

Lösung

beweisen

csc (x) (sin (x) + tan (x)) = 1 + sec (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

csc (x) (sin (x) + tan (x)) = 1 + sec (x)

Manipuliere die linke Seite

csc (x) (sin (x) + tan (x))

Drücke mit sin, cos aus

(sin (x) + tan (x)) csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) \frac{1}{sin ( x )}

Vereinfache

(sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) \frac{1}{sin ( x )} : \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

(sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) \frac{1}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( sin ( x ) + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} )}{sin ( x )}

1 \cdot (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) = sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

1 \cdot (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

Multipliziere:

1 \cdot (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) = (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

= (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

Entferne die Klammern:

(a) = a

= sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{sin ( x )}

Füge

sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( x ) c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x )}}{sin ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= \frac{sin ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}{cos ( x ) sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1 + \frac{1}{s e c ( x )}}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1 + \frac{1}{s e c ( x )}}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{1}{s e c ( x )} ) sec ( x )}{1}

Füge

1 + \frac{1}{sec ( x )}

zusammen:

\frac{sec ( x ) + 1}{sec ( x )}

1 + \frac{1}{sec ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sec ( x )}{sec ( x )}

= \frac{1 \cdot sec ( x )}{sec ( x )} + \frac{1}{sec ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sec ( x ) + 1}{sec ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sec (x) = sec (x)

= \frac{sec ( x ) + 1}{sec ( x )}

= \frac{\frac{s e c ( x ) + 1}{s e c ( x )} sec ( x )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{sec ( x ) + 1}{sec ( x )} sec (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sec ( x ) + 1 ) sec ( x )}{sec ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sec (x)

= sec (x) + 1

sec (x) + 1

sec (x) + 1

= 1 + sec (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen 1/(tan(70))=cot(70)

p ro v e \frac{1}{tan ( 7 0 ^{\circ} )} = cot (7 0^{\circ})

beweisen (sec(A))/(sin(A))-(sin(A))/(cos(A))=cot(A)

p ro v e \frac{sec ( A )}{sin ( A )} - \frac{sin ( A )}{cos ( A )} = cot (A)

beweisen csc(θ)=sec(θ)cot(θ)

p ro v e csc (θ) = sec (θ) cot (θ)

beweisen cos(-2x)=cosh^2(x)+sinh^2(x)

p ro v e cos (- 2 x) = cosh^{2} (x) + sinh^{2} (x)

beweisen (cos^2(x)+sin^2(x))=1

p ro v e (cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) = 1