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provar cot^2(x)*sec^2(x)=csc^2(x)

Solução

provar

cot^{2} (x) \cdot sec^{2} (x) = csc^{2} (x)

Verdadeiro

Passos da solução

cot^{2} (x) sec^{2} (x) = csc^{2} (x)

Manipular o lado direito

cot^{2} (x) sec^{2} (x)

Expresar com seno, cosseno

cot^{2} (x) sec^{2} (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} sec^{2} (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Simplificar

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} (\frac{1}{cos ( x )})^{2} : \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= (\frac{1}{cos ( x )})^{2} \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} \cdot \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 1}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Eliminar o fator comum:

cos^{2} (x)

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

Simplificar

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( x )}{1}

Aplicar a regra

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (x)

csc^{2} (x)

csc^{2} (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro