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Beliebt Trigonometrie >

beweisen 1/(tan(2θ))=(cot^2(θ)-1)/(2cot(θ))

Lösung

beweisen

\frac{1}{tan ( 2 θ )} = \frac{cot ^{2} ( θ ) - 1}{2 cot ( θ )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{tan ( 2 θ )} = \frac{cot ^{2} ( θ ) - 1}{2 cot ( θ )}

Manipuliere die linke Seite

\frac{1}{tan ( 2 θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{tan ( 2 θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{\frac{s i n ( 2 θ )}{c o s ( 2 θ )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{s i n ( 2 θ )}{c o s ( 2 θ )}} : \frac{cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

\frac{1}{\frac{s i n ( 2 θ )}{c o s ( 2 θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

= \frac{cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

= \frac{cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{cot ^{2} ( θ ) - 1}{2 cot ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + cot ^{2} ( θ )}{2 cot ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Vereinfache

\frac{- 1 + ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}} : \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{- 1 + ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{2 cos ( θ )}{sin ( θ )}

2 \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( θ ) \cdot 2}{sin ( θ )}

= \frac{- 1 + ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{\frac{2 c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{- 1 + \frac{c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )}}{\frac{2 c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( - 1 + \frac{c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )} ) sin ( θ )}{cos ( θ ) \cdot 2}

Füge

- 1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( θ ) - s i n ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )} sin ( θ )}{2 cos ( θ )}

Multipliziere

\frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} sin (θ) : \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} sin (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ)

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{\frac{- s i n ^{2} ( θ ) + c o s ^{2} ( θ )}{s i n ( θ )}}{2 cos ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ ) \cdot 2}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{2 cos ( θ ) sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{2 cos ( θ ) sin ( θ )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ( 2 θ )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

= \frac{cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (1-cos(θ))+sin^2(θ)=2

p ro v e (1 - cos (θ)) + sin^{2} (θ) = 2

beweisen 1/(sec(θ))=(sec(θ))^{-1}

p ro v e \frac{1}{sec ( θ )} = (sec (θ))^{- 1}

beweisen sin(2θ)+cos(2θ)=1

p ro v e sin (2 θ) + cos (2 θ) = 1

beweisen 25(sec^2(5x)-tan^2(5x))=25

p ro v e 25 (sec^{2} (5 x) - tan^{2} (5 x)) = 25

beweisen cot^2(x)=((cos^2(x)))/(1-cos^2(x))

p ro v e cot^{2} (x) = \frac{( cos ^{2} ( x ) )}{1 - cos ^{2} ( x )}