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人気のある三角関数 >

証明する (2cot(u))/(csc^2(u)-2)=tan(2u)

解

証明する

\frac{2 cot ( u )}{csc ^{2} ( u ) - 2} = tan (2 u)

解

真

解答ステップ

\frac{2 cot ( u )}{csc ^{2} ( u ) - 2} = tan (2 u)

左側を操作する

\frac{2 cot ( u )}{csc ^{2} ( u ) - 2}

サイン, コサインで表わす

\frac{2 cot ( u )}{- 2 + csc ^{2} ( u )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{2 \cdot \frac{c o s ( u )}{s i n ( u )}}{- 2 + csc ^{2} ( u )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{2 \cdot \frac{c o s ( u )}{s i n ( u )}}{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( u )} ) ^{2}}

簡素化

\frac{2 \cdot \frac{c o s ( u )}{s i n ( u )}}{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( u )} ) ^{2}} : \frac{2 cos ( u ) sin ( u )}{- 2 sin ^{2} ( u ) + 1}

\frac{2 \cdot \frac{c o s ( u )}{s i n ( u )}}{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( u )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( u )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

(\frac{1}{sin ( u )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( u )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{2 \cdot \frac{c o s ( u )}{s i n ( u )}}{- 2 + \frac{1}{s i n ^{2} ( u )}}

乗じる

2 \cdot \frac{cos ( u )}{sin ( u )} : \frac{2 cos ( u )}{sin ( u )}

2 \cdot \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( u ) \cdot 2}{sin ( u )}

= \frac{\frac{2 c o s ( u )}{s i n ( u )}}{- 2 + \frac{1}{s i n ^{2} ( u )}}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ( u ) \cdot 2}{sin ( u ) ( - 2 + \frac{1}{s i n ^{2} ( u )} )}

結合

- 2 + \frac{1}{sin ^{2} ( u )} : \frac{- 2 sin ^{2} ( u ) + 1}{sin ^{2} ( u )}

- 2 + \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

元を分数に変換する:

2 = \frac{2 sin ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

= - \frac{2 sin ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )} + \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 sin ^{2} ( u ) + 1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ( u )}{\frac{- 2 s i n ^{2} ( u ) + 1}{s i n ^{2} ( u )} sin ( u )}

乗じる

sin (u) \frac{- 2 sin ^{2} ( u ) + 1}{sin ^{2} ( u )} : \frac{- 2 sin ^{2} ( u ) + 1}{sin ( u )}

sin (u) \frac{- 2 sin ^{2} ( u ) + 1}{sin ^{2} ( u )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - 2 sin ^{2} ( u ) + 1 ) sin ( u )}{sin ^{2} ( u )}

共通因数を約分する:

sin (u)

= \frac{- 2 sin ^{2} ( u ) + 1}{sin ( u )}

= \frac{2 cos ( u )}{\frac{- 2 s i n ^{2} ( u ) + 1}{s i n ( u )}}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ( u ) \cdot 2 sin ( u )}{- 2 sin ^{2} ( u ) + 1}

= \frac{2 cos ( u ) sin ( u )}{- 2 sin ^{2} ( u ) + 1}

= \frac{2 cos ( u ) sin ( u )}{1 - 2 sin ^{2} ( u )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{2 cos ( u ) sin ( u )}{1 - 2 sin ^{2} ( u )}

2倍角の公式を使用:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{2 cos ( u ) sin ( u )}{cos ( 2 u )}

2倍角の公式を使用:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{sin ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

= \frac{sin ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (2 u)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する csc(2x)+cot(2x)=(1+cos(2x))/(sin(2x))

p ro v e csc (2 x) + cot (2 x) = \frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

証明する 1-2sin^2(t)=2cos^2(t)-1

p ro v e 1 - 2 sin^{2} (t) = 2 cos^{2} (t) - 1

証明する 1/(cos^2(θ))=sec^2(θ)

p ro v e \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = sec^{2} (θ)

証明する-cos(2t)sin(2t)+sin(2t)cos(2t)+0=0

p ro v e - cos (2 t) sin (2 t) + sin (2 t) cos (2 t) + 0 = 0

証明する (tan(θ)sin(θ))/(sec(θ)-1)=1+cos(θ)

p ro v e \frac{tan ( θ ) sin ( θ )}{sec ( θ ) - 1} = 1 + cos (θ)