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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sin(pi/6+b)+cos(pi/3+b)=cos(b)

Lösung

beweisen

sin (\frac{π}{6} + b) + cos (\frac{π}{3} + b) = cos (b)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (\frac{π}{6} + b) + cos (\frac{π}{3} + b) = cos (b)

Manipuliere die linke Seite

sin (\frac{π}{6} + b) + cos (\frac{π}{3} + b)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (\frac{π}{3} + b)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (\frac{π}{3}) cos (b) - sin (\frac{π}{3}) sin (b)

Vereinfache

cos (\frac{π}{3}) cos (b) - sin (\frac{π}{3}) sin (b) : \frac{1}{2} cos (b) - \frac{3}{2} sin (b)

cos (\frac{π}{3}) cos (b) - sin (\frac{π}{3}) sin (b)

Vereinfache

cos (\frac{π}{3}) : \frac{1}{2}

cos (\frac{π}{3})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} cos (b) - sin (\frac{π}{3}) sin (b)

Vereinfache

sin (\frac{π}{3}) : \frac{3}{2}

sin (\frac{π}{3})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{3}{2}

= \frac{1}{2} cos (b) - \frac{3}{2} sin (b)

= \frac{1}{2} cos (b) - \frac{3}{2} sin (b)

= sin (\frac{π}{6} + b) + \frac{1}{2} cos (b) - \frac{3}{2} sin (b)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (\frac{π}{6} + b)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (\frac{π}{6}) cos (b) + cos (\frac{π}{6}) sin (b)

Vereinfache

sin (\frac{π}{6}) cos (b) + cos (\frac{π}{6}) sin (b) : \frac{1}{2} cos (b) + \frac{3}{2} sin (b)

sin (\frac{π}{6}) cos (b) + cos (\frac{π}{6}) sin (b)

Vereinfache

sin (\frac{π}{6}) : \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{6})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} cos (b) + cos (\frac{π}{6}) sin (b)

Vereinfache

cos (\frac{π}{6}) : \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

= \frac{1}{2} cos (b) + \frac{3}{2} sin (b)

= \frac{1}{2} cos (b) + \frac{3}{2} sin (b)

= \frac{1}{2} cos (b) + \frac{3}{2} sin (b) + \frac{1}{2} cos (b) - \frac{3}{2} sin (b)

Vereinfache

\frac{1}{2} cos (b) + \frac{3}{2} sin (b) + \frac{1}{2} cos (b) - \frac{3}{2} sin (b) : cos (b)

\frac{1}{2} cos (b) + \frac{3}{2} sin (b) + \frac{1}{2} cos (b) - \frac{3}{2} sin (b)

Fasse gleiche Terme zusammen

= \frac{1}{2} cos (b) + \frac{1}{2} cos (b) + \frac{3}{2} sin (b) - \frac{3}{2} sin (b)

Addiere gleiche Elemente:

\frac{1}{2} cos (b) + \frac{1}{2} cos (b) = cos (b)

\frac{1}{2} cos (b) + \frac{1}{2} cos (b)

Klammere gleiche Terme aus

cos (b)

= cos (b) (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1}{2}

Fasse zusammen

= 1

= cos (b)

= cos (b) + \frac{3}{2} sin (b) - \frac{3}{2} sin (b)

Addiere gleiche Elemente:

\frac{3}{2} sin (b) - \frac{3}{2} sin (b) = 0

\frac{3}{2} sin (b) - \frac{3}{2} sin (b)

Klammere gleiche Terme aus

sin (b)

= sin (b) (\frac{3}{2} - \frac{3}{2})

\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0

\frac{3}{2} - \frac{3}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 3}{2}

Faktorisiere

3 - 3 : 0

3 - 3

Klammere gleiche Terme aus

3

= 3 (1 - 1)

Fasse zusammen

= 0

= \frac{0}{2}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

= 0

= cos (b)

= cos (b)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

identität cos^2(x)-sin^2(x)

i d e n t i t y cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

identität 1-cos^2(x)

i d e n t i t y 1 - cos^{2} (x)

identität 1-sin^2(x)

i d e n t i t y 1 - sin^{2} (x)

identität sin(2θ)

i d e n t i t y sin (2 θ)

identität tan^2(x)

i d e n t i t y tan^{2} (x)