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sin(2x)>cos(x)

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解答

sin(2x)>cos(x)

解答

6π​+2πn<x<2π​+2πnor65π​+2πn<x<23π​+2πn
+2
间隔符号
(6π​+2πn,2π​+2πn)∪(65π​+2πn,23π​+2πn)
十进制
0.52359…+2πn<x<1.57079…+2πnor2.61799…+2πn<x<4.71238…+2πn
求解步骤
sin(2x)>cos(x)
将 cos(x)para o lado esquerdo
sin(2x)>cos(x)
两边减去 cos(x)sin(2x)−cos(x)>cos(x)−cos(x)
sin(2x)−cos(x)>0
sin(2x)−cos(x)>0
利用以下特性: sin(2x)=2cos(x)sin(x)−cos(x)+2cos(x)sin(x)>0
−cos(x)+2cos(x)sin(x)的周期:2π
周期函数和的复合周期是这些周期的最小公倍数cos(x),2cos(x)sin(x)
cos(x)的周期:2π
cos(x)的周期是 2π=2π
2cos(x)sin(x)的周期:π
2cos(x)sin(x)包含以下函数及对应周期:cos(x)的周期为 2π
复合周期为:π
合并周期:2π,π
=2π
因式分解 −cos(x)+2cos(x)sin(x):cos(x)(2sin(x)−1)
−cos(x)+2cos(x)sin(x)
因式分解出通项 cos(x)=cos(x)(−1+2sin(x))
cos(x)(2sin(x)−1)>0
要找到零点,将不等式设置为零cos(x)(2sin(x)−1)=0
解 cos(x)(2sin(x)−1)=0求得 0≤x<2π
cos(x)(2sin(x)−1)=0
分别求解每个部分
cos(x)=0:x=2π​orx=23π​
cos(x)=0,0≤x<2π
cos(x)=0的通解
cos(x) 周期表(周期为 2πn):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
x=2π​+2πn,x=23π​+2πn
x=2π​+2πn,x=23π​+2πn
在 0≤x<2π范围内的解x=2π​,x=23π​
2sin(x)−1=0:x=6π​orx=65π​
2sin(x)−1=0,0≤x<2π
将 1到右边
2sin(x)−1=0
两边加上 12sin(x)−1+1=0+1
化简2sin(x)=1
2sin(x)=1
两边除以 2
2sin(x)=1
两边除以 222sin(x)​=21​
化简sin(x)=21​
sin(x)=21​
sin(x)=21​的通解
sin(x) 周期表(周期为 2πn"):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
x=6π​+2πn,x=65π​+2πn
x=6π​+2πn,x=65π​+2πn
在 0≤x<2π范围内的解x=6π​,x=65π​
合并所有解6π​or2π​or65π​or23π​
零点之间的区间0<x<6π​,6π​<x<2π​,2π​<x<65π​,65π​<x<23π​,23π​<x<2π
总结如下表:cos(x)2sin(x)−1cos(x)(2sin(x)−1)​x=0+−−​0<x<6π​+−−​x=6π​+00​6π​<x<2π​+++​x=2π​0+0​2π​<x<65π​−+−​x=65π​−00​65π​<x<23π​−−+​x=23π​0−0​23π​<x<2π+−−​x=2π+−−​​
确定满足所需条件的区间:>06π​<x<2π​or65π​<x<23π​
使用周期 −cos(x)+2cos(x)sin(x)6π​+2πn<x<2π​+2πnor65π​+2πn<x<23π​+2πn

流行的例子

cos(x)<= 1cos(x)≤1sec^2(x)<= 4/3sec2(x)≤34​cos(x)>(sqrt(3))/2cos(x)>23​​sin^2(x)< 1/2sin2(x)<21​sin(x)<= 1sin(x)≤1
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